貴金屬比例

貴金屬比例、貴金屬分割（英語：metallic ratio）定義為

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}:1}$（n為自然數）

所表示的比率。

隨${\displaystyle n}$值的不同，又稱為第${\displaystyle n}$貴金屬比例、第${\displaystyle n}$貴金屬分割。特別地，第1貴金屬比例${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}:1}$稱為黃金比例、第2貴金屬比例${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}:1}$稱為白銀比例、第3貴金屬比例${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}:1}$稱為青銅比例。 ^[1]

貴金屬數

貴金屬數

0	${\displaystyle {\frac {0+{\sqrt {4}}}{2}}}$	1	1
1	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$	1.6180339887...
2	${\displaystyle {\frac {2+{\sqrt {8}}}{2}}}$	${\displaystyle 1+{\sqrt {2}}}$	2.4142135623...
3	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {3+{\sqrt {13}}}{2}}}$	3.3027756377...
4	${\displaystyle {\frac {4+{\sqrt {20}}}{2}}}$	${\displaystyle 2+{\sqrt {5}}}$	4.2360679774...
5	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {5+{\sqrt {29}}}{2}}}$	5.1925824035...
6	${\displaystyle {\frac {6+{\sqrt {40}}}{2}}}$	${\displaystyle 3+{\sqrt {10}}}$	6.1622776601...
7	${\displaystyle {\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {7+{\sqrt {53}}}{2}}}$	7.1400549446...
8	${\displaystyle {\frac {8+{\sqrt {68}}}{2}}}$	${\displaystyle 4+{\sqrt {17}}}$	8.1231056256...
9	${\displaystyle {\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {9+{\sqrt {85}}}{2}}}$	9.1097722286...
n	${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

貴金屬數是

${\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}}$

即二次方程式${\displaystyle x^{2}-nx-1=0}$的正根。

連分數

貴金屬數的連分數表示是：

${\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]}$

數列的商的極限

黃金數（第1貴金屬數）是斐波那契數列相鄰兩項的比的極限，白銀數（第2貴金屬數）是佩爾數列相鄰兩項的比的極限；一般地，也存在以第${\displaystyle n}$貴金屬數為相鄰兩項的比的極限的數列。

數列${\displaystyle \{M_{k}\}}$的遞推關係式

${\displaystyle M_{0}=0,\quad M_{1}=1,\quad M_{k+2}=nM_{k+1}+M_{k}}$

一旦定義了此關係式，則在此之中，第${\displaystyle n}$貴金屬數為${\displaystyle \mu }$，有

${\displaystyle M_{k}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\mu +\mu ^{-1}}}={\frac {\mu ^{k}-(-\mu )^{-k}}{\sqrt {n^{2}+4}}}}$

成立。在這種情況下，這個序列的兩個相鄰項的商數在${\displaystyle K\rightarrow \infty }$收斂於${\displaystyle \mu }$。即

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {M_{k+1}}{M_{k}}}=\mu }$

成立。