連續變量與離散變量

數學與統計學中，若一個定量變量通常由測量獲得，則可能是連續的；若通常由計數獲得，則可能是離散的。^[1]若變量可以取兩個特定的實值，且還可以取兩者間所有實值（包括任意或無限接近的值），則變量在該區間內連續。^[2]若變量可以取一個值，而其兩側各有非無窮小的間隙，其中沒有可取的值，則稱其在此值附近是離散的。^[3]某些語境下，變量在數線的某些範圍內是離散的，在另一些範圍內則可以是連續的。

變量可分為兩大類：定性變量（分類變量）與定量變量（數值變量）。連續變量與離散變量是定量變量的子類。注意此示意圖沒有窮盡所有類別。

連續變量

連續變量是由測量獲得值的變量，即可以在不可數集上取值的變量。

例如，在實數的非空範圍上取值的變量是連續的，因為在a與b之間的任何實數範圍${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ;a\neq b}$都不可數，範圍內有無限多值。^[4]

微積分方法常用於連續變量問題，如連續最佳化問題。^[5]

統計學中，連續變量的概率分佈可用概率密度函數（PDF）表示。^[6]

連續時間動力學中，時間變量被視作連續的，描述變量隨時間變化的方程是微分方程。^[7]瞬時變化率是良定義的概念，是指在某特定瞬間，應變量與自變量的變化比。

這是裝有不同量液體的小瓶。瓶中液體的體積是連續變量，小瓶個數是離散變量。

離散變量

相對地，若且唯若變量值與自然數集${\displaystyle \mathbb {N} }$存在一一對應關係時，才稱此變量是離散變量。^[8]即，在某實值區間內的離散變量是這樣的：對可取值區間內的任何值，與最近的其他可取值都有正的最小間距相隔。離散變量的值可由計數得到，可取值數量或是有限的，或是可數無限的。常見例子是整數、非負整數、正整數或只有0、1。^[9]

微積分方法用於離散變量問題不太合適，特別是在多變量微積分中，很多模型都依賴於連續性假設。^[10]離散變量問題如整數規劃。

統計學中，離散變量的概率分佈可用概率質素函數（PMF）表示。^[6]

離散時間動力學中，時間變量被視作離散的，描述變量隨時間變化的方程是差分方程。^[11]某些離散時間動態系統的響應可通過求差分方程的解析解來模擬。

計量經濟學與更廣泛的迴歸分析中，有時一些經驗上相關的變量是0-1變量，只能取這兩個值。^[12]這是為了將虛擬變量用作一個開關，將它們分配給方程中的參數來「打開」或「關閉」。若自變量是虛擬變量，則通常採用邏輯迴歸或概率單位迴歸。在迴歸分析中，虛擬變量可用於表示研究中的樣本組（如0對應對照組的組成）。^[13]

混合

混合多變量模型可同時包含離散與連續變量。例如，簡單的混合多變量模型可以有隻在0、1上取值的離散變量x，與連續變量y。^[14]混合模型的一個例子是基於精神症狀的二元測量和認知表現的連續測量對心理失調風險的研究。^[15]混合模型還可能涉及在數線的某範圍內離散，而在另一範圍內連續的單一變量。

概率論和統計學中，混合型隨機變量的累積分佈函數既不是離散的，也不是處處連續的。混合型隨機變量的例子是排隊等候時間的概率。顧客等待時間為零的可能性是離散的，而非零的等待時間是連續的。^[16]

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