鑒相器特性函數

鑒相器特性函數（phase detector characteristic）是相位差的函數，可以描述鑒相器的輸出。

在鑒相器的分析時，常需要考慮時域以及相域-時域的特性^[1]。 若要建立鑒相器在相域-時域的適合非線性數學模型，需要找到鑒相器的特性。 鑒相器的輸入是高頻信號，其輸出包括低頻的誤差修正信號，對應輸入信號的相位差。若鑒相器的輸出有高頻成份，為了要抑制高頻成份，會需要低通濾波器。鑒相器的特性是指鑒相器在相域-時域的輸出和其輸入相位差的相關性。

鑒相器的特性和其實現方式以及其使用的信號種類有關。考量鑒相器特性時，允許針對高頻振盪使用平均法，也允許從時域下從相位同步系統非自治模型的分析和仿真，改為在相域-時域自治模型的分析和仿真^[2]。

類比乘法器的鑒相器特性

考慮用類比乘法器和低通濾波器組成的鑒相器。

相域—頻域下的鑒相器

此處${\displaystyle f^{1}(\theta ^{1}(t))}$ and ${\displaystyle f^{2}(\theta ^{2}(t))}$是高頻信號，分段可微函數${\displaystyle f^{1}(\theta )}$, ${\displaystyle f^{2}(\theta )}$是輸入信號的波形，${\displaystyle \theta ^{1,2}(t)}$是相位，而${\displaystyle g(t)}$是濾波器的輸出。

若${\displaystyle f^{1,2}(\theta )}$和${\displaystyle \theta ^{1,2}(t)}$滿足高頻條件（高頻條件在^[3][4]），則 鑒相器特性函數${\displaystyle \phi (\theta )}$會用以下方式計算，要使得時域的濾波器輸出

${\displaystyle g(t)=\int \limits _{0}^{t}f^{1}(\theta ^{1}(t))f^{2}(\theta ^{2}(t))dt}$

和相域—頻域模型的濾波輸出

${\displaystyle G(t)=\int \limits _{0}^{t}\varphi (\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))dt}$

幾乎相等

${\displaystyle g(t)-G(t)\approx 0}$

弦波輸入

考慮簡單的弦波輸入${\displaystyle f^{1}(\theta )=\sin(\theta ),}$ ${\displaystyle f^{2}(\theta )=\cos(\theta )}$以及積分器濾波器。

${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t))\cos(\theta ^{2}(t))={\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))+{\frac {1}{2}}\sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))}$

標準的工程假設會假設濾波器會去除高頻訊號${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)+\theta ^{2}(t))}$，不改變其低頻訊號${\displaystyle \sin(\theta ^{1}(t)-\theta ^{2}(t))}$。

因此，其弦波訊號的鑒相器特性為

${\displaystyle \varphi (\theta )={\frac {1}{2}}\sin(\theta ).}$

方波輸入

考慮高頻方波信號${\displaystyle f^{1}(t)=\operatorname {sgn}(\sin(\theta ^{1}(t)))}$ and ${\displaystyle f^{2}(t)=\operatorname {sgn}(\cos(\theta ^{2}(t)))}$。 針對此訊號，已有論文研究出類似的結果^[5] 。 方波訊號的鑒相器特性為

${\displaystyle \varphi (\theta )={\begin{cases}1+{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [-\pi ,0],\\1-{\frac {2\theta }{\pi }},&{\text{if }}\theta \in [0,\pi ].\\\end{cases}}}$

一般輸入訊號

考慮一般情形的片段連續輸入信號${\displaystyle f^{1}(\theta )}$, ${\displaystyle f^{2}(\theta )}$。

輸入信號可以展開為傅立葉級數，${\displaystyle f^{1}(\theta )}$和${\displaystyle f^{2}(\theta )}$傅立葉級數的系數如下：

${\displaystyle a_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\sin(ix)dx,}$${\displaystyle b_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)\cos(ix)dx,}$${\displaystyle c_{i}^{p}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f^{p}(x)dx,p=1,2}$

鑒相器特性為 ^[2]

${\displaystyle \varphi (\theta )=c^{1}c^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \limits _{l=1}^{\infty }{\bigg (}(a_{l}^{1}a_{l}^{2}+b_{l}^{1}b_{l}^{2})\cos(l\theta )+(a_{l}^{1}b_{l}^{2}-b_{l}^{1}a_{l}^{2})\sin(l\theta ){\bigg )}.}$

顯然，鑒相器特性${\displaystyle \varphi (\theta )}$是在${\displaystyle \mathbb {R} }$內的週期性、連續有界函數。

有些專利是有關此分析方式的結果^[6]。