雙曲坐標系

在數學裏，雙曲坐標系（英語：Hyperbolic coordinates）是一種二維坐標系統。它可以用來表達一個點在二維平面的第一象限的位置。從雙曲坐標 ${\displaystyle (u,\ v)}$ 變換到直角坐標 ${\displaystyle (x,\ y)}$ ：

${\displaystyle u=-{\frac {1}{2}}\log \left({\frac {y}{x}}\right)}$ 、

${\displaystyle v={\sqrt {xy}}}$ 。

繪製在歐幾里得平面上的雙曲坐標：在同一藍色射線上的所有點有相同的坐標值u，在同一紅色雙曲線上的所有點有相同的坐標值v。

有時候，參數 ${\displaystyle u}$ 稱為雙曲角，${\displaystyle v}$ 稱為幾何平均。

反映射為

${\displaystyle x=ve^{u}}$ 、

${\displaystyle y=ve^{-u}}$ 。

這是一個連續函數，但不是一個解析函數。

理工科學的應用

在熱力學裏，定溫過程（isothermal process）顯性地跟隨着雙曲路徑，所做的功可以解釋為雙曲角的改變。類似地，等壓過程可以描繪出一條雙曲線，在絕對溫度與氣體密度的象限。