24點

24點遊戲（在香港也稱「合廿四」）J、Q、和K去除，或當成10；還有一個版本是把J表示11，Q表示12，K代表13。

有些組合有多種算法，例如2，4，6，Q四張牌可用 2 + 4 + 6 + 12 = 24 或 4×6 ÷ 2 + 12 = 24 或 12 ÷ 4×(6 + 2) = 24等來求解。也有些組合算不出24，如1、1、1、1 和 6、7、8、8等組合。

較有難度的24點

雖然大多數24點存在很多解法，有相當一部分數字組合只存在單一的解法。這種組合往往較有難度，也較為有趣。這裏總結一些常見的組合。

分數或小數運算

雖然給出4個數字都是整數，中間步驟中有時會出現分數或小數。這種4個數字的組合往往較有難度。一個經典的例子是1，5，5，5，其解答為5×(5 − 1 ÷ 5) = 24；另外 一個例子是3，3，8，8，其解答為8 ÷ (3 - 8 ÷ 3) = 24。因為後者用到了兩次除法，其解法比較難以想到。另外一些類似的組合為：

數字組合	解法	數字組合	解法
2,  4, 10, 10	(2 + 4 ÷ 10)×10	2,  5,  5, 10	(5 − 2 ÷ 10)×5
2,  7,  7, 10	(2 + 10 ÷ 7)×7	3,  3,  7,  7	(3 + 3 ÷ 7)×7
4,  4,  7,  7	(4 − 4 ÷ 7)×7	2,  2, 11, 11	(2 + 2 ÷ 11)×11
2,  2, 13, 13	(2 − 2 ÷ 13)×13	1,  3,  4,  6	6 ÷ (1 − 3 ÷ 4)
2,  3,  5, 12	12 ÷ (3 − 5 ÷ 2)	1,  8, 12, 12	12 ÷ (12 ÷ 8 - 1)

大數／奇數運算

大多數組合中，中間步驟只會涉及到一些較小的數字（≤32）。但是有些組合中會涉及到一些較大數字，這些組合通常較有難度。比如4、4、10、10的解法為(10×10 − 4) ÷ 4 = 24，5、6、6、9的解法為6×9 − 5×6 = 24。此外如果運算涉及到一些奇數的運算也會增加難度，比如6、9、9、10的解法為9×10 ÷ 6 + 9 = 24。一些例子如下：

數字組合	解法	數字組合	解法
1,  3,  9, 10	(1 + 10)×3 − 9	7,  8,  8, 10	10×8 − 7×8
9, 11, 12, 12	11×12 − 9×12	1,  2,  7,  7	(7×7 − 1) ÷ 2
3,  8,  8, 10	(8×10 − 8) ÷ 3	4,  8,  8, 11	(8×11 + 8) ÷ 4
5, 10, 10, 13	(10×13 − 10) ÷ 5	1,  5, 11, 11	(11×11 - 1) ÷ 5
1,  6, 11, 13	(11×13 + 1) ÷ 6	1,  7, 13, 13	(13×13 − 1) ÷ 7

計算複雜性排行

下面 17 組是由計算機根據計算複雜性和結構找到的最難組合，完整的 566 組有解（多組解則取最簡單的情況）情況如附錄。

數字組合	解法	數字組合	解法	數字組合	解法
1，3，4，6	(6/(1-(3/4)))	1，2，7，7	(((7*7)-1)/2)	3，3，7，7	(((3/7)+3)*7)
1，4，5，6	(4/(1-(5/6)))	3，5，10，10	(3*(10-(10/5)))	2，7，7，10	(((10/7)+2)*7)
3，3，8，8	(8/(3-(8/3)))	3，8，8，10	(((10*8)-8)/3)	2，2，7，10	(((10/2)+7)*2)
1，6，6，8	(6/(1-(6/8)))	4，4，10，10	(((10*10)-4)/4)	3，3，6，6	(3*((6/3)+6))
1，4，5，6	(6/((5/4)-1))	1，5，5，5	((5-(1/5))*5)	2，4，10，10	(10*((4/10)+2))
		2，5，5，10	((5-(2/10))*5)
		4，4，7，7	((4-(4/7))*7)

24點的組合數學

其實獨立的24點的個數並不多。如果每張牌面的數值被限制在1到K之間，獨立的數字組合數由有重複的組合數給出：

${\displaystyle N={K+3 \choose 4}={\frac {K(K+1)(K+2)(K+3)}{24}}\,\!}$。

譬如，如果最大的牌面數值為10，那麼獨立的數字組合為715個，遠比10000要小；如果最大的牌面數值為13，那麼獨立的數字組合為1820個。這是因為其他的組合可以通過簡單的數字交換得到。

可以用枚舉證明，如果最大牌面數值為10，在715個組合中，有149個組合是沒有解的。此外，如果我們隨機地取4個1-10之間的數字，無解的概率為1442/10000大致為1/7。如果最大牌面數值為13，則會有458個組合無解（總數為1820）。

推廣

24點遊戲可以被推廣到多張牌（n>4）的情形。通常我們假定這n張牌是從一副牌中選出的，也就是說，每個數字至多出現4次。比如在5張牌、最大數值為10的情況下，有1992種不同的組合方式。其中無解的比例大大降低，一共為如下37種。如果最大數值為13，則無解的總數擴大為80。

1 1 1 1 2	1 1 1 1 3	1 1 1 1 4	1 1 1 1 5	1 1 1 2 2	1 1 1 2 3
1 1 1 9 9	1 1 1 9 10	1 1 1 10 10	1 1 2 2 2	1 1 6 7 7	1 1 7 7 7
1 1 9 9 9	1 1 9 9 10	1 1 10 10 10	1 5 9 9 9	1 6 7 7 7	1 7 7 7 7
1 7 9 9 9	1 8 9 9 10	1 8 9 10 10	1 9 9 9 9	1 9 9 9 10	1 9 9 10 10
1 9 10 10 10	1 10 10 10 10	2 9 9 9 9	3 5 5 5 5	4 9 9 9 9	6 7 7 7 7
6 10 10 10 10	8 9 9 9 10	8 9 9 10 10	9 9 9 9 10	9 9 9 10 10	9 9 10 10 10
9 10 10 10 10

注意到，以上羅列的情形中並沒有5個相同數字的組合，比如，5個1，這是因為一副牌最多只有4個相同數字的牌。

在6張牌的情況下，4905種不同的組合方式中僅有3種組合是無解的：1 1 1 1 2 2，9 9 9 10 10 10 和9 9 10 10 10 10。在7張牌的情況下，所有組合方式（10890種）都有解。

影響

這遊戲在中美兩國都十分流行，也是課堂教學的內容之一。^[1]