亂數斐波那契數列

亂數斐波那契數列是一個類似斐波那契數列的數列，由以下的遞迴關係式所定義：

f_n = f_n−1 ± f_n−2

其中正負號是依亂數決定，概率各是1/2，每次的正負號有統計獨立性。

依照Harry Kesten及Hillel Fürstenberg的理論，這類的亂數遞迴關係式會依某種指數增長的方式增長，但其增長的速率很難具體的計算出來，1999年時Divakar Viswanath證明亂數斐波那契數列的增長速率為1.1319882487943…（OEIS數列A078416），此常數後來也被命名為Viswanath常數。

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馬克·恩布里（英語：Mark Embree）及勞埃德·尼古拉斯·特雷費森（英語：Lloyd Nicholas Trefethen）發現以下的以下的遞迴關係式

${\displaystyle x_{n+1}=x_{n}\pm \beta x_{n-1}\,}$

在β小於臨界值β* ≈ 0.70258後，幾乎必定會衰減，此臨界值稱為恩布里-特雷費森常數（Embree–Trefethen constant），否則，此數列幾乎必定會成長。他們也證明在兩項之間的漸近比例σ(β)在每一個β都幾乎確定收斂。σ(β)的圖中存在碎形結構，全域最小值出現在β_min ≈ 0.36747附近，近似等於σ(β_min) ≈ 0.89517.^[1]。

參考資料

• Viswanath, Divakar, Random Fibonacci sequences and the number 1.13198824…, Mathematics of Computation, 1999, 69 (231): 1131–1155, doi:10.1090/S0025-5718-99-01145-X.

• Oliveira, J.B.; de Figueiredo, L.H., Interval computation of Viswanath's constant, Reliable Computing, 2002, 8 (2): 131–138., doi:10.1023/A:1014702122205

• Makover, Eran; McGowan, Jeffrey, An elementary proof that random Fibonacci sequences grow exponentially, Journal of Number Theory, 2006, 121 (1): 40–44, doi:10.1016/j.jnt.2006.01.002 arXiv:math.NT/0510159.