一階邏輯
使用於數學、哲學、語言學及電腦科學中的一種形式系統 / 維基百科,自由的 encyclopedia
一階邏輯是使用於數學、哲學、語言學及電腦科學中的一種形式系統,也可以稱為:一階斷言演算、低階斷言演算、量化理論或謂詞邏輯。一階邏輯和命題邏輯的不同之處在於,一階邏輯包含量詞。
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高階邏輯和一階邏輯不同之處在於,高階邏輯的斷言符號可以有斷言符號或函數符號當做引數,且容許斷言量詞或函數量詞[1]。在一階邏輯的語義中,斷言被解釋為關係。而高階邏輯的語義裏,斷言則會被解釋為集合的集合。
在通常的語義下,一階邏輯是可靠(所有可證的敘述皆為真)且完備(所有為真的敘述皆可證)的。雖然一階邏輯的邏輯歸結只是半可判定性的,但還是有許多用於一階邏輯上的自動定理證明。一階邏輯也符合一些使其能通過證明論分析的元邏輯定理,如勒文海姆–斯科倫定理及緊緻性定理。
一階邏輯是數學基礎中很重要的一部份。許多常見的公理系統,如一階皮亞諾公理、馮紐曼-博內斯-哥德爾集合論和策梅洛-弗蘭克爾集合論都是一階理論。然而一階邏輯不能控制其無窮模型的基數大小,因根據勒文海姆–斯科倫定理和康托爾定理,可以構造出一種「病態」集合論模型,使整個模型可數,但模型內卻會覺得自己有「不可數集」。類似地,可以證明實數系的普通一階理論既有可數模型又有不可數模型。這類的悖論被稱為斯科倫悖論。但一階的直覺主義邏輯裏,勒文海姆–斯科倫定理不可證明[2],故不會有以上之現象。