代數基本定理
任何一元複係數方程式都至少有一個複數根 / 維基百科,自由的 encyclopedia
代數基本定理說明,任何一個一元複係數多項式方程都至少有一個複數根。也就是說,複數域是代數封閉的。
有時這個定理表述為:任何一個非零的一元n次複係數多項式,都正好有n個複數根(重根視為多個根)。這似乎是一個更強的命題,但實際上是「至少有一個根」的直接結果,因為不斷把多項式除以它的線性因子,即可從有一個根推出有n個根。也就是說,任何一個n次多項式,都可以因式分解為n個復係數一次多項式的乘積。
儘管這個定理被命名為「代數基本定理」,但它還沒有純粹的代數證明,許多數學家都相信這種證明不存在。[1]另外,它也不是最基本的代數定理;因為在那個時候,代數基本上就是關於解實係數或複係數多項式方程,所以才被命名為代數基本定理。
高斯一生總共對這個定理給出了四個證明,其中第一個是在他22歲時(1799年)的博士論文中給出的。高斯給出的證明既有幾何的,也有函數的,還有積分的方法。高斯關於這一命題的證明方法是去證明其根的存在性,開創了關於研究存在性命題的新途徑。
同時,高次代數方程的求解仍然是一大難題。伽羅瓦理論指出,對於一般五次以及五次以上的方程,不存在一般的代數解。