倒向隨機微分方程（BSDE）是帶有終點條件的隨機微分方程，其解要根據底層濾波進行調整。BSDE自然地出現在各種應用中，如隨機控制、金融數學與非線性費曼-卡茨公式。[1]
1973年讓-米歇爾·比斯姆提出了BSDE線性情形[2]，1990年法國學者Etienne Pardoux和中國學者彭實戈合作發表的論文中提出BSDE非線性情形，線性是廣泛的非線性中的一特殊形式[3][4]。
固定終點時刻
與概率空間
。令![{\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df3acd3171fe6d3043cf659824788ec54a58c1b)
為布朗運動，其自然濾波![{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82e12fc426e0596ce14ce461967be662ade6308)
。BSDE是積分方程，其類型為
![{\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17180d83e4f78ae7a196811558357512998fd870) | | 1 |
其中![{\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a07d360c3ab1e651a84d55d3ed4eac4e52574)
稱作BSDE的生成器，終點條件
是
-可測隨機變量，解![{\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7657e9e989f222e34b2deb255a4865c7a70c8f59)
包含隨機過程![{\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000976c421b7bbe36cc923abcd80451ba72e9573)
、![{\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e34758f442803ae3d9a28f0be1441d12622b7)
，其適應於過濾。
Bismut, Jean-Michel. Conjugate convex functions in optimal stochastic control. Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1973, 44 (2): 384–404. doi:10.1016/0022-247X(73)90066-8.
- Pardoux, Etienne; Rӑşcanu, Aurel. Stochastic Differential Equations, Backward SDEs, Partial Differential Equations. Stochastic modeling and applied probability. Springer International Publishing Switzerland. 2014.
- Zhang, Jianfeng. Backward stochastic differential equations. Probability theory and stochastic modeling. Springer New York, NY. 2017.
![{\displaystyle (B_{t})_{t\in [0,T]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5df3acd3171fe6d3043cf659824788ec54a58c1b)
![{\displaystyle ({\mathcal {F}}_{t})_{t\in [0,T]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a82e12fc426e0596ce14ce461967be662ade6308)
![{\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}f(s,Y_{s},Z_{s})\mathrm {d} s-\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T],}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17180d83e4f78ae7a196811558357512998fd870)
![{\displaystyle f:[0,T]\times \mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb5a07d360c3ab1e651a84d55d3ed4eac4e52574)
![{\displaystyle (Y_{t},Z_{t})_{t\in [0,T]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7657e9e989f222e34b2deb255a4865c7a70c8f59)
![{\displaystyle (Y_{t})_{t\in [0,T]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000976c421b7bbe36cc923abcd80451ba72e9573)
![{\displaystyle (Z_{t})_{t\in [0,T]}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d1e34758f442803ae3d9a28f0be1441d12622b7)
![{\displaystyle Y_{t}=\xi -\int _{t}^{T}Z_{s}\mathrm {d} B_{s},\quad t\in [0,T].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54ccbb034bf7321f8a155df3736e962d8ddd2c3c)
![{\displaystyle Y_{t}=\mathbb {E} [\xi |{\mathcal {F}}_{t}]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22a566b1a0bce3de307338be1add02b9b37d5324)
