克萊布希-高登係數

在量子力學中，克萊布希－高登係數（Clebsch–Gordan coefficients，簡稱 CG 係數，又稱向量耦合係數等）是兩個角動量耦合時，它們的本徵函數的組合係數。

從數學的角度，克萊布希－高登係數出現在緊李群的表示論中，它研究的是兩個不可約表示的張量積如何分解成不可約表示的直和。

克萊布希－高登係數因阿爾弗雷德·克萊布什和保羅·哥爾丹而得名。

記號

在本文中，在不引起混淆的情況下，省略算符上的尖號。用粗體來表示向量（算符），用非粗體表示純量（算符）。

角動量耦合的一般理論

本文的討論從角動量的一般量子理論出發，以角動量算符的對易關係為基礎，不涉及角動量算符在某個具體表象下的表示^[1]。相關內容可參見角動量算符對易關係一文。 給定了 j 之後，本徵函數組

${\displaystyle |jm\rangle ,\quad m=-j,-j+1,\dots ,j-1,j}$

張開成一個 2j+1 維的函數空間。

現在給定兩個量子數 j₁ 和 j₂，則其本徵函數組張開的空間分別有 2j₁+1 維 與 2j₂+1 維。現考慮這兩個函數空間的張量積

${\displaystyle V=V_{1}\otimes V_{2}=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1}\})\otimes \operatorname {span} (\{|j_{2}m_{2}\rangle |m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})}$

顯然有

${\displaystyle V=\operatorname {span} (\{|j_{1}m_{1}\rangle |\otimes |j_{2}m_{2}\rangle |m_{1}=-j_{1},-j_{1}+1,\dots ,j_{1}-1,j_{1};m_{2}=-j_{2},-j_{2}+1,\dots ,j_{2}-1,j_{2}\})}$

下面為簡便起見，定義新的記號

${\displaystyle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle =|j_{1}m_{1}\rangle \otimes |j_{2}m_{2}\rangle }$

一般地，若 f, g 分別是這兩個空間裏的算符，則在積空間上可以定義下列算符：

${\displaystyle f\otimes g:V_{1}\otimes V_{2}\rightarrow V_{1}\otimes V_{2},u\otimes v\rightarrow (fu)\otimes (gv)}$

另一方面，定義在這兩個空間上的算符可以自然地嵌入到積空間中，只需取

${\displaystyle f\rightarrow f\otimes 1,g\rightarrow 1\otimes g}$

其中 1 表示恆等操作（算符）。

在這樣的定義下，兩個角動量算符的的耦合表達為：

${\displaystyle j_{\alpha }=j_{1,\alpha }+j_{2,\alpha }=j_{1,\alpha }\otimes 1+1\otimes j_{2,\alpha },\quad \alpha \in \{x,y,z\}}$

${\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}=\mathbf {j} _{1}\otimes 1+1\otimes \mathbf {j} _{2},\quad \alpha \in \{x,y,z\}}$

容易驗證這樣定義的 j 滿足角動量的基本對易關係，因此是一個角動量算符，稱為總角動量算符。

根據角動量的一般理論，總角動量算符也有自己的本徵函數組，它可以用積空間裏的基來表示

${\displaystyle |jm\rangle =\sum _{m_{1},m_{2}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle |j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle }$

這裏的線性組合係數

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle }$

就被稱為克萊布希－高登係數。在正交歸一性的要求下，克萊布希－高登係數仍然具有相位不確定性。本文中取 Condon-Shortle 慣例，使所有克萊布希－高登係數為實數。

耦合表象中量子數的取值

${\displaystyle j_{z}=j_{1,z}+j_{2,z}}$

上式兩邊取矩陣元，就得到：

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm\rangle =\delta _{m_{1}+m_{2},m}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|jm_{1}+m_{2}\rangle }$

故在克萊布希－高登係數的表達式中可以省略 m 的值。

下面考慮耦合表象中量子數 j 的取值，根據上式，有

${\displaystyle j_{\max }=m_{\max }=m_{1,\max }+m_{2,\max }=j_{1}+j_{2}}$

故 j 最大的可能取值是 j₁ 與 j₂ 的和，且它只出現一次。此時

${\displaystyle m=-j_{\max },-j_{\max }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }}$

考慮下一個可能的 j，顯然第二大的 m=m_max-1，它可以通過兩種方式組合而來，

${\displaystyle m_{1}=j_{1}-1,m_{2}=j_{2}{\text{ or }}m_{1}=j_{1},m_{2}=j_{2}-1}$

它們張開成一個二維的空間，但 j=j_max 的本徵函數組裏面已經出現過 m=j_max-1，這裏佔用了一維，因此下一個可能的 j 只能是 j_max-1，它同樣只出現一次。

這樣分析下去，就會知道 j 的所有可能取值只能是

${\displaystyle j_{\min },j_{\min }+1,\dots ,j_{\max }-1,j_{\max }}$

其中每個 j 恰好出現一次，且

${\displaystyle j_{\max }-j_{\min }\in \mathbb {Z} }$

但積空間的維數應該等於兩個空間維數之積，即

${\displaystyle \sum _{n=j_{\min }}^{j_{\max }}(2n+1)=(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)}$

故有

${\displaystyle j_{\min }=|j_{1}-j_{2}|}$

一個例子

以 ${\displaystyle j_{1}=j_{2}={\frac {1}{2}}}$ 為例^[2]。

對任意一個算符 ${\displaystyle f}$，本節中的矩陣元表示

${\displaystyle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|f|j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}\rangle }$

的值。

${\displaystyle j_{z}={\frac {1}{2}}\left({\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\right)={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle j_{+}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\1&0&0&0\\1&0&0&0\\0&1&1&0\end{bmatrix}}=j_{-}^{\dagger }}$

${\displaystyle \mathbf {j} ^{2}={\frac {1}{2}}[j_{+},j_{-}]_{+}+j_{z}^{2}={\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}}$

計算最後一個矩陣的本徵值和本徵向量，得到

${\displaystyle {\begin{bmatrix}2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&1&1&0\\0&0&0&2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\-2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\2^{-1/2}&2^{-1/2}&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\operatorname {diag} \{0,2,2,2\}}$

於是可知克萊布希－高登係數為：

m=1	j=
${\displaystyle m_{1},m_{2}=}$	1 1/2, 1/2 ${\displaystyle 1\!\,}$

m=0	j=
m1, m2=	1 0 1/2, -1/2 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,}$ ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,}$ -1/2, 1/2 ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,}$ ${\displaystyle -{\sqrt {\frac {1}{2}}}\!\,}$

m=-1	j=
m1, m2=	1 -1/2, -1/2 ${\displaystyle 1\!\,}$

從上面的例子可以看到，對於一般的情況，用矩陣來求克萊布希－高登係數將是十分繁瑣的。一般可以採用下面的 Racah 表達式計算，更多的情況是直接查表。

Racah 表達式

Racah 用代數方法得出了克萊布希－高登係數的有限級數表達式^[3]。

${\displaystyle {\begin{array}{cl}&\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle \\=&\delta _{m_{3},m_{1}+m_{2}}\left[(2j_{3}+1){\frac {(j_{1}+j_{2}-j_{3})!(j_{2}+j_{3}-j_{1})!(j_{3}+j_{1}-j_{2})!}{(j_{1}+j_{2}+j_{3}+1)!}}\times \prod _{i=1,2,3}(j_{i}+m_{i})!(j_{i}-m_{i})!\right]^{1/2}\\\times &\sum _{\nu }[(-1)^{\nu }\nu !(j_{1}+j_{2}-j_{3}-\nu )!(j_{1}-m_{1}-\nu )!(j_{2}+m_{2}-\nu )!(j_{3}-j_{1}-m_{2}+\nu )!(j_{3}-j_{2}+m_{1}+\nu )!]^{-1}\end{array}}}$

其中， ν 的求和限制在使得所有的階乘因子中的數非負的範圍內。

對稱性

克萊布希－高登係數有下列的對稱性^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle &=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{1}\,{-m_{1}}j_{2}\,{-m_{2}}|J\,{-M}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}+j_{2}-J}\langle j_{2}m_{2}j_{1}m_{1}|JM\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle j_{1}m_{1}J\,{-M}|j_{2}\,{-m_{2}}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle J\,{-M}j_{2}m_{2}|j_{1}\,{-m_{1}}\rangle \\&=(-1)^{j_{1}-m_{1}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{2}+1}}}\langle JMj_{1}\,{-m_{1}}|j_{2}m_{2}\rangle \\&=(-1)^{j_{2}+m_{2}}{\sqrt {\frac {2J+1}{2j_{1}+1}}}\langle j_{2}\,{-m_{2}}JM|j_{1}m_{1}\rangle \end{aligned}}}$

與維格納 3-j 符號的關係

克萊布希－高登係數與維格納 3-j 符號有下列關係^[4]：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .}$

後者可以用於計算下列形式的球諧函數積分^[4]：

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

由球諧函數的正交歸一性，上面的結果也可以用來對球諧函數作展開。

參考

1. 曾謹言. 10. 量子力学卷 I （第四版）. 科學出版社. [2011]. ISBN 9787030181398.
2. William O. Straub. EFFICIENT COMPUTATION OF CLEBSCH-GORDAN COEFFICIENTS (PDF). [2014-09-09]. （原始內容存檔 (PDF)於2019-08-19）.
3. Giulio Racah. Theory of Complex Spectra. II. Phys. Rev.: 438. doi:10.1103/PhysRev.62.438.
4. Maximon, Leonard C., 3j,6j,9j Symbols, Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (編), NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, 2010, ISBN 978-0521192255, MR2723248

參見

• 角動量算符及其一般理論

外部連結

• 克萊布希－高登係數表 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）