半多面體

在幾何學中，半多面體（英語：Hemipolyhedron）是一種面通過整體幾何中心的星形多面體^[1]。這些通過整體幾何中心的面跟某個平形多面體的面互相平行，但數量只有一半，因此稱為半多面體^[2]；而這些數量只有一半且通過整體幾何中心的面可稱為半面（hemi faces）^[3]。

提示：此條目頁的主題不是多面體半形。

性質

威佐夫記號與頂點圖

其威佐夫記號（英語：Wythoff symbol）的形式為^p/_(p − q) ^p/_q | r;，這表示其頂點周圍的面有一個反反向相接，這意味着他們的頂點圖為交叉四邊形，因此，這些立體與小斜方截半變換相關，它們的威佐夫記號形式類似。從上方的威佐夫記號可以看出，部分多邊形反向相接，事實上，其頂點佈局形式為^p/_q.2r.^p/_(p − q).2r，其中^p/_(p − q)表示反向相接的^p/_q，這種佈局方式會造成取之相鄰的2r邊形通過整體的幾何中心：如果將其表示為球形多面體的面，則它們覆蓋整個半球，且它們的邊和頂點位於球體的大圓上。^[4]

這類形式的威佐夫記號共有九種類型。這九種多面體在1881年由Albert Badoureau發現並描述^[5]。

四面半六面體 3/2 3 | 2 (3.4.3/2.4) (p/q = 3, r = 2)	八面半八面體 3/2 3 | 3 (3.6.3/2.6) (p/q = 3, r = 3)	小二十面半十二面體 3/2 3 | 5 (3.10.3/2.10) (p/q = 3, r = 5)	大二十面半十二面體 3/2 3 | 5/3 (3.10/3.3/2.10/3) (p/q = 3, r = 5/3)	小十二面半二十面體 5/3 5/2 | 3 (5/2.6.5/3.6) (p/q = 5/2, r = 3)
	立方半八面體 4/3 4 | 3 (4.6.4/3.6) (p/q = 4, r = 3)	小十二面半十二面體 5/4 5 | 5 (5.10.5/4.10) (p/q = 5, r = 5)	大十二面半十二面體 5/3 5/2 | 5/3 (5/2.10/3.5/3.10/3) (p/q = 5/2, r = 5/3)	大十二面半二十面體 5/4 5 | 3 (5.6.5/4.6) (p/q = 5, r = 3)

定向性

僅有八面半八面體是可定向曲面^[6]，其餘半多面體皆不具備定向性^[7]，就類似於克萊因瓶，整個面表面只有一個面，無法分辨內部和外部，立體上視覺上的「外部」任意點皆可以僅沿立體表面、不需經過打動的過程就走到對應點的相對於「內部」的位置^[8]。

種類

擬正半多面體

對應原像為正多面體的半多面體共有9個，在1881年由Albert Badoureau發現並描述^[5]。這些立體與對應的截半多面體共用頂點，而截半多面體是一種擬正多面體（Quasiregular Polyhedra），這些立體可以視為是這些擬正多面體的刻面多面體^[2]。這些立體又可稱為Versi-Regular Polyhedra，與Quasiregular Polyhedra相對應。^[8]

原像		截半結果	幾何結構	名稱	頂點佈局	其威佐夫記號 （英語：Wythoff symbol）	對稱性
正四面體	正四面體對偶	截半四面體		四面半六面體	3.4.3/2.4	3/2 3 | 2	Td
立方體	立方體	截半立方體		八面半八面體	3.6.3/2.6	3/2 3 | 3	Oh
				立方半八面體	4.6.4/3.6	4/3 4 | 3	Oh
正十二面體	正二十面體	截半十二面體		小二十面半十二面體	3.10.3/2.10	3/2 3 | 5	Ih
				小十二面半十二面體	5.10.5/4.10	5/4 5 | 5	Ih
大二十面體	大星形十二面體	大截半二十面體		大二十面半十二面體	3.10/3.3/2.10/3	3/2 3 | 5/3	Ih
				大十二面半十二面體	5/2.10/3.5/3.10/3	5/3 5/2 | 5/3	Ih
大十二面體	小星形十二面體	截半大十二面體		小十二面半二十面體	5/2.6.5/3.6	5/3 5/2 | 3	Ih
				大十二面半二十面體	5.6.5/4.6	5/4 5 | 3	Ih

在歐幾里得空間中，有四種含無限邊形的平面鑲嵌可以是為是以半多面體方式構造的星形鑲嵌^[9]。組成其的無限邊形可視為與平面鑲嵌的平面垂直，即將整個幾何結構視為一個球面多面體，每個無限邊形皆可將整體分隔為兩個半球體。^[10]

原像	原始截半 結果鑲嵌圖	邊的排列	幾何結構	頂點佈局[10]	其威佐夫記號 （英語：Wythoff symbol）	對稱性
正方形鑲嵌			正方形半無限邊形鑲嵌	4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞	4/3 4 | ∞	p4m
正三角形鑲嵌			雙三角形半無限邊形鑲嵌	(3.∞.3.∞.3.∞)/2	3/2 | 3 ∞	p6m
正六邊形鑲嵌			六邊形半無限邊形鑲嵌	6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞	6/5 6 | ∞
			三角形半無限邊形鑲嵌	∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3	3/2 3 | ∞

大部分的擬正多面體皆為正多面體截半後的結果。部分擬正半多面體也有類似的特點：

擬正多面體	截半前的原像		截半結果
四面半六面體[11]	皮特里四面體 {4,3}3 （立方體半形）	（八面體半形） {3,4}3
八面半八面體[12]	皮特里立方體[13]{6,3}(2,2)
立方半八面體[14]	S2:{4,6}	S2:{6,4}
大二十面半十二面體[15]	皮特里大星形十二面體[15]
大十二面半十二面體[15]	皮特里大二十面體[15]

參考文獻

1. Norman Johnson（英語：諾曼·詹森 (數學家)） Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
2. Hart, George. Quasiregular Polyhedra. Virtual Polyhedra: The Encyclopedia of Polyhedra. 1996 [6 May 2012]. （原始內容存檔於2021-07-24）.
3. Stella Polyhedral Glossary. software3d.com. [2021-08-01]. （原始內容存檔於2021-05-12）.
4. Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S.; Miller, J. C. P., Uniform polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A. Mathematical and Physical Sciences (The Royal Society), 1954, 246 (916): 401–450, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, MR 0062446, doi:10.1098/rsta.1954.0003
5. Jean Paul Albert Badoureau. Mémoire sur les Figures Isocèles. Journal de l'École polytechnique. 1881, (49): 47-172.
6. The Octahemioctahedron. 西密歇根大學. [2016-08-31]. （原始內容存檔於2016-03-14）.
7. Har'El, Zvi. Uniform solution for uniform polyhedra. Geometriae Dedicata (Springer). 1993, 47 (1): 57––110.
8. Versi-Regular Polyhedra. dmccooey.com. [2021-08-01]. （原始內容存檔於2021-07-30）.
9. Grünbaum, Branko; Shephard, G. C. Tilings and Patterns. W. H. Freeman and Company. 1987. ISBN 0-7167-1193-1. (Star tilings section 12.3)
10. Jim McNeill. Infinite and Semi-infinite tessellations. orchidpalms.com. [2021-08-01]. （原始內容存檔於2020-02-25）.
11. Hemi-cuboctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-01-26）.
12. octahemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-30]. （原始內容存檔於2021-07-25）.
13. {6,3}_(2,2), Petrie dual of the cube. Regular Map database - map details. [2021-07-30].
14. The cubohemioctahedron. Regular Map database - map details. [2021-07-24]. （原始內容存檔於2021-08-02）.
15. Weiss, Asia Ivić and Schulte, Egon. Hereditary polyhedra with planar regular faces. The Art of Discrete and Applied Mathematics. 2020, 3 (2): 2–07.