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元型例子是模算術:對於一個正整數n,如果a − b整除於n(還有一個等價的條件是它們除以n得出同樣的餘數),則兩個整數a和b被稱為同餘模n。
例如,5和11同餘模3:
因為11 − 5得出6,它整除於3。或者等價的說,這兩個數除以3得到相同的餘數:
如果並且,則並且。這把同餘(mod n)變成了在所有整數的環上的一個等價。
對稱矩陣有實數特徵值。對稱矩陣的「慣性」是由正特徵值的數目、零特徵值的數目和負特徵值的數目組成的三元組。Sylvester慣性定律聲稱兩個對稱實數矩陣是合同的,若且唯若它們有相同的慣性。所以,全等變換可以改變矩陣的特徵值但不能改變特徵值的符號。
對於複數矩陣,必須區分「T合同」(A和B是T合同,如果有可逆矩陣P使得PTAP = B)和「*合同」(A和B是*合同,如果有可逆矩陣P使得P*AP = B)。
想法是推廣到泛代數中:代數A上的同餘關係是直積A×A的子集,它既是在A上的等價關係又是A×A的子代數。
同態的核總是同餘。實際上,所有同餘引起自核。對於給定在A上的同餘~,等價類的集合A/~可以自然的方式給出自代數的結構商代數。映射所有A的元素到它的等價類的函數是同態,這個同態的核是~。
在群的特殊情況下,同餘關係可以用基本術語描述為:如果G是群(帶有單位元e)並且~是在G上的二元關係,則~是同餘只要:
條件1, 2和3聲稱~是等價關係。
同餘~完全確定自G的同餘於單位元的那些元素的集合{a ∈ G : a ~ e},而這個集合是正規子群。特別是,a ~ b若且唯若b−1 * a ~ e。所以替代談論在群上同餘,人們通常以正規子群的方式談論它們;事實上,所有同餘都唯一的對應於G的某個正規子群。
類似的技巧允許談論環中的核為理想來替代同餘關係,在模理論中為子模來替代同餘關係。
這個技巧不適用於么半群,所以同餘關係的研究在么半群理論扮演更中心的角色。
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