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布萊克-休斯模型

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「布萊克-舒爾茲模型」的各地常用別名
中國大陸布萊克-舒爾斯模型
港臺布萊克-休斯模型

布萊克-休斯模型(英語:Black-Scholes Model),簡稱BS模型,又稱布萊克-休斯-墨頓模型(Black–Scholes–Merton model),是一種為期權權證衍生性金融商品定價的數學模型,由美國經濟學家麥倫·休斯費雪·布萊克首先提出,並由羅伯特·C·墨頓修改模型於有派發股利時亦可使用而更完善。由此模型可以推導出布萊克-休斯公式,並由此公式估算出歐式期權的理論價格。此公式問世後帶來了期權市場的繁榮。該公式被廣泛使用,雖然在很多情況下被使用者進行一定的改動和修正。很多經驗測試表明這個公式足夠貼近市場價格,然而也有會出現差異的時候,如著名的「波動率的微笑」。

該模型就是以麥倫·休斯和費雪·布萊克命名的。1997年麥倫·休斯和羅伯特·墨頓憑藉該模型獲得諾貝爾經濟學獎。然而它假設價格的變動,會符合正態分佈(即俗稱的鐘形曲線),但在財務市場上經常出現符合統計學厚尾現象的事件,這影響此公式的有效性。

重要假設

BS模型假設金融市場存在最少一種風險資產(如股票)及一種無風險資產(現金債券)。

假設金融資產是:

假設金融市場是:

此外,假設期權是歐式選擇權,即在選擇權到只可在特定日期執行。

模型

布萊克-舒爾茲方程

對於有效期內不派發紅利的歐式選擇權,其價格遵從以下偏微分方程

把方程重寫成左右兩邊:

左方代表期權的時間值及與即期價格的凸性英語Convexity (finance)。右方代表期權長倉的無風險回報及股相關資產短倉。

公式

利用以下約束條件,可解認購期權(Call Option)的理論值。

認購期權的理論價格是:

其中:

ln:自然對數
C:選擇權初始合理價格;
L:選擇權交割價格;
S:交易所金融資產即期價格;
T:選擇權有效期;
r:連續複利計無風險利率H;
:年度化方差
N():正態分佈變量的累積分佈函數

派發股利的選擇權定價模型

布萊克-休斯模型假定在選擇權有效期內標的股票不派發股利。若派發股利需改用布萊克-休斯-墨頓模型,其公式如下:

其中:

k:表示標的股票的年股利收益率(假設股利連續支付,而不是離散分期支付)
Ln:自然對數
C:選擇權初始合理價格;
L:選擇權交割價格;
S:交易所金融資產現價;
T:選擇權有效期;
r:連續複利計無風險利率H;
:年度化方差
N():正態分佈變量的累積概率分佈函數

關聯項目

外部連結

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布萊克-休斯模型
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