級數
英文:series / 維基百科,自由的 encyclopedia
級數(英語:Series)是數學中一個有窮或無窮的序列例如之和,即,如果序列是有窮序列,其和稱為有窮級數;反之,稱為無窮級數(一般也簡稱為級數)。
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無窮級數 | ||||
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無窮級數 | ||||
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序列中的項稱作級數的通項(或一般項)。級數的通項可以是實數、矩陣或向量等常量,也可以是關於其他變量的函數,不一定是一個數。一般的,如果級數的通項是常量,則稱之為常數項級數,如果級數的通項是函數,則稱之為函數項級數。常見的簡單有窮數列的級數包括等差數列和等比數列的級數。
有窮數列的級數一般通過初等代數的方法就可以求得。無窮級數有發散和收斂的區別,稱為無窮級數的斂散性。判斷無窮級數的斂散性是無窮級數研究中的主要工作。無窮級數在收斂時才會有一個和;發散的無窮級數在一般意義上沒有和,但可以用一些別的方式來定義。
無窮級數的研究更多的需要數學分析的方法來解決。無窮級數一般寫作 或者 或者 ,級數收斂時,其和通常被表示為,其中符號稱為求和號。
設是一個無窮序列 :,其前n項的和稱為的部分和:
部分和依次構成另一個無窮序列:
這兩個序列合稱為一個級數,記作或者。
對於級數,如果當趨於正無窮大時,趨向一個有限的極限:,那麼這個無窮級數就叫做是收斂的,叫做級數的和。如果極限不存在,這個無窮級數就是發散的。收斂的無窮級數存在唯一的一個和。這時可以定義級數的餘項和:。
如果級數中的各項可以是正數,負數或零,則級數稱為任意項級數。 將任意項級數各項取絕對值,得到正項級數。
- 如果任意項級數收斂,而級數發散,則稱級數條件收斂。
- 如果級數收斂,則稱級數絕對收斂
定理:如果任意項級數的各項的絕對值所組成的正項級數收斂,則級數收斂。
證明: |
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令
該定理表明,如果級數絕對收斂,則級數必收斂。 |
- 若一個無窮級數收斂,其和為,則如果每一項乘以一個常數,得到的級數也收斂,且和等於as。
- 收斂的無窮級數可以逐項相加或相減,如有兩個無窮級數:
- 和 ,則
- .
- 級數前面加上有限項或減去有限項不影響其斂散性,如:
- 和
這兩個級數的斂散性是一樣的。
- 當趨向無限大時,任何一個收斂級數的通項都趨於0:
將一個函數展開成無窮級數的概念最早來自14世紀印度的馬德哈瓦。他首先發展了冪級數的概念,對泰勒級數、麥克勞林級數、無窮級數的有理逼近以及無窮連分數做了研究。他發現了正弦、餘弦、正切函數等的泰勒展開,還用冪級數計算了 π 的值。他的學生繼承和發展了他關於級數的工作。
17世紀,詹姆斯·格里高利也開始研究無窮級數,並發表了若干函數的麥克勞林展開式。1715年,布魯克·泰勒提出了構造一般解析函數的泰勒級數的方法。18世紀時歐拉又發展了超幾何級數和q-級數的理論。
14世紀時,馬德哈瓦已經開始討論判別無窮級數斂散性的方法。他提出了一些審斂的準則,後來他的學生將其推廣。
然而在歐洲,審查無窮級數是否收斂的研究一般被認為是從19世紀由高斯開始的。他於1812年發表了關於歐拉的超幾何級數
的論文,提出了一些簡單的收斂準則,並對餘項和以及收斂半徑進行了討論。
柯西提出了嚴格的審斂法的重要性,他證明了兩個收斂級數的乘積不一定是收斂的,同時開始研究嚴格的審斂準則。歐拉和高斯各自給出了各種審斂法則。柯西更研究了複函數的冪級數展開。
1826年,阿貝爾在他的關於二項式級數
的論文中更正了柯西的若干個結論,並給出了二項式級數的嚴格的求和方法,指出了連續性在收斂問題中的重要性。
柯西提出的審斂法並不是普遍適用的,只能用於判別某些特定函數的斂散性。同時代的其他數學家,比如拉貝(Joseph Ludwig Raabe)的對數判別法,德·摩根的對數判別法(被 DuBois-Reymond和普林斯海姆證明對某些函數失效) ,以及貝特朗、斯托克斯、切比雪夫等人的審斂法也是如此。
對普遍的審斂法則的研究由恩斯特·庫默爾開始,之後的艾森斯坦、維爾斯特拉斯、尤里斯·迪尼等都曾致力於這一領域。普林斯海姆於1889年發表的論文闡述了完整的普適審斂理論。
1821年,柯西首先開始對一致連續性的研究,但其中有不少錯誤和局限。這些錯誤最早被阿貝爾指出,但首先得出正確結論的是西德爾和斯托克斯。1853年,柯西在注意到阿貝爾的批評後重新開展研究,並得到了與斯托克斯一樣的結論。然而,一致連續性的重要性在很長一段時間裏沒有受到重視。
- 更多級數請參見級數列表。
幾何級數(或等比級數)是指通項為等比數列的級數,比如:
一般來說,幾何級數收斂若且唯若。
調和級數是指通項為的級數:
它是發散的。
-級數是指通項為的級數:
對於實數值的,當時收斂,當時發散。這可以由積分比較審斂法得出。
收斂若且唯若數列收斂到某個極限,並且這時級數的和是。
泰勒級數是關於一個光滑函數在一點附近取值的級數。泰勒函數由函數在點的各階導數值構成,具體形式為:
這是一個冪級數。如果它在附近收斂,那麼就稱函數在點上是解析的。
具有以下形式的級數
形同的函數項無窮級數稱為的冪級數。它的收斂與否和係數有關。