秦九韶

秦九韶（1208年—1261年），字道古，魯郡人，南宋數學家。著作有《數書九章》，其中的大衍求一術（一次同餘方程組問題的解法，也就是現在所稱的中國剩餘定理的歷史解法）和秦九韶算法（高次方程正根的數值求法）是有世界意義的重要貢獻^[1]。

秦九韶
字	道古
出生	1208年嘉定二年或1202年嘉泰二年 南宋
逝世	1261年 景定二年 南宋梅州（今廣東梅縣）
職業	中國南宋數學家

生平

秦九韶的籍貫是魯郡（今山東省濟寧市兗州區、曲阜一帶），祖上世代為官。父親秦季槱（yǒu／ㄧㄡˇ）字宏父，是四川普州（現安岳縣）人，曾知潼州府、任職秘閣。嘉定二年（1208年)，秦九韶生於普州^{[註 1]}，（今四川安岳）是家裏的第二個兒子。嘉定五年（1212年），秦季槱任巴州知州。嘉定十二年（1219年），興元軍士權興等叛亂，秦季槱守巴州失陷，秦九韶隨父親回到臨安（今杭州）。嘉定十五年後，秦季槱擢升工部郎中、秘書少監兼國史院編修官、實錄檢討官。由於父親是掌管各項工程、屯田、水利、交通的工部郎中，又任國史院官職，掌管各類經籍圖書，少年的秦九韶得以接觸學習各類知識。他生性聰穎，對當時的種種學問，如星象、音樂、算術以及建築學等無一不學，並專研甚深。他還曾經向當時的隱士求教，學習數學^[2][3]。

十八歲時在鄉里為義兵首領^[4]。紹定二年（1229年）十月，秦九韶擢某縣縣尉。端平三年（1236年）一月，秦九韶擢升湖北蘄州（今湖北蘄春縣）通判^[5]。嘉熙元年（1237年）秋，秦九韶知和州（今安徽和縣）。嘉熙二年（1238年），秦季槱逝世，秦九韶回臨安弔喪。弔喪期間曾在杭州西溪上設計修建一座橋，後來被朱世傑命名為「道古橋」^[6]。

南宋理宗淳祐四年（1244年）八月，秦九劭在建康府（今江蘇江寧縣）任職通直郎，十一月因母去世離任，回浙江湖州弔喪。^[7]在此期間，他將自己潛心研究的各種實踐中的數學成果集撰成書。淳祐七年（1247年）九月，在湖州完成了《數書九章》（當時稱為《數學大略》）十八卷，自述「歷歲遙塞，荏苒十禩」。寶祐二年（1254年）到建康出任沿江制置司參議。^[8]一說秦九韶為人陰險，為官貪暴，劣跡甚多。又由於捲入南宋統治集團激烈的內部鬥爭中，其宦途頗多跌宕。^[9]賈似道專權，排斥異己，吳潛失勢。秦九韶作為吳潛黨人受到株連。寶祐六年（1258年）出任瓊州守，南宋理宗景定元年（1260年）出任梅州（今廣東梅縣）守，後卒於梅州。^[10]根據《宋史》無傳描述他在政治上被傳述為腐敗又殘暴的人，會對敵人仇家下毒以謀取自身利益，因此被調職多次，更因此富有。^[11]

數學成就

秦九韶的數學成就基本表現在他寫的《數書九章》之中。然而，這本書在當時並沒有引起大的影響，稍後的楊輝、朱世傑都沒有引征過秦九韶的成果^[1]。《數書九章》的主要內容偏重於數學的應用方面，全書八十一道題目都是結合當時的實際需要提出的問題。

大衍求一術

主條目：大衍求一術

大衍求一術是一次同餘方程組問題的核心解法，現在叫做中國剩餘定理。一次同餘方程組問題的求解始於《孫子算經》中的「今有物不知數」問題。例如《孫子算經》中的原題是：

有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？

用現代的數學語言表述一般的「物不知數」問題，就是：

已知一些兩兩互素的正整數${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}}$，以及一個正整數${\displaystyle x}$ 滿足：

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x\equiv a_{1}{\pmod {m_{1}}}\\x\equiv a_{2}{\pmod {m_{2}}}\\\vdots \qquad \qquad \qquad \\x\equiv a_{n}{\pmod {m_{n}}}\end{matrix}}\right.}$

求${\displaystyle x}$ 的值。

在《數書九章》第一卷的「大衍總術」中，秦九韶將${\displaystyle m_{1},m_{2},\ldots ,m_{n}}$ 稱為定數，將它們的總乘積${\displaystyle M=m_{1}m_{2},\ldots m_{n}}$ 稱為衍母，再將衍母除以各個定數所得到的商：${\displaystyle M_{i}={\frac {M}{m_{i}}}}$ 稱為衍數。接下來他將滿足${\displaystyle k_{i}M_{i}\equiv 1{\pmod {m_{i}}}}$ 的正整數${\displaystyle k_{i}}$ 稱為乘率，只要知道了各個乘率${\displaystyle k_{i}}$ ，就可以得到方程組的解：

${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}a_{i}k_{i}M_{i}}$

而計算乘率的方法就是大衍求一術。秦九韶完整地敘述了「大衍求一術」，其實質是輾轉相除法的應用。於是，針對同餘模數兩兩互素的情況，秦九韶得到了系統的解法，在模數不是兩兩同餘時，需要將定數修正（剔除公因數）以應用大衍求一術。由於沒有素因數分解的概念，秦九韶用了一些技巧來修正定數以使用大衍求一術^[1]。

1801年，高斯系統地解決了一元不定方程組的問題，其方法和秦九韶是一樣的。

秦九韶算法

主條目：秦九韶算法

秦九韶解${\displaystyle -x^{4}+15245x^{2}-6262506.25}$

秦九韶算法是一個求一元高次方程的數值解的通用算法，是對賈憲的增乘開方術的改進。13世紀，中國數學家關於開方術的著作很多，但大多散佚，而現傳於世的李冶和朱世傑的著作中並沒有開方的詳細演算步驟。因此，《數書九章》中的「正負開方術」是了解當時解高次方程方法的重要依據^[1]。在《數書九章》中，開方法得到極大完善，利用隨乘隨加的方法得到方程的根。秦九韶的算法中規定「實常為負」。這裏的「實」指的是方程中常數項的係數。實際上，秦九韶將方程寫作${\displaystyle f(x)=0}$，以便統一解決，這是以往的開方術中沒有的。所求的方根是無理數時，劉徽曾經首創繼續開方，用十進小數來近似表示方程的根的方法。然而這種方法並沒有得到後人的重視，直到秦九韶重新採取這種方法^[1][12]。

三斜求積術

200141414141^2 +b^2 -c^2}{2} \right)^2}</math>

這個公式和海倫公式是等價的。A>C>B

註釋

1. 李儼、錢寶琮認為秦九韶生於1202年，但現今數學史界普遍認為是1208年。

參考文獻

1. 錢寶琮. 《秦九韶数书九章研究》. 李儼錢寶琮科學史全集·第九卷. ISBN 978-7-538-24807-4.
2. 周密，《癸辛雜識·秦九韶》：「不閒於藝，因得訪於太史，又嘗從隱君子受數學」、「性極機巧，星象、音律、算術以至營造等事，無不精究」
3. 秦九韶，《數書九章》自序：「早歲侍親中都，因得訪習於太史，又嘗從隱君子受數學。」
4. 周密《癸辛雜識》：「秦九韶……年十八，在鄉里為義兵首，嘗隨其父守郡。」
5. 劉克莊，《後村先生大全集》卷八十一《繳秦九韶知臨江軍狀》
6. 《杭州市市志》：「道古橋，杭大路西側之西溪路上，長8.4米，寬6.5米，石拱橋，宋代嘉熙年間（1237～1240）道古建造。元人朱世傑為紀念建橋人道古，書鐫『道古橋』。」
7. 《景定建康志》卷二十四《官守志一》
8. 《景定建康志》卷二十五《官守志二》
9. 有關秦九韶為人的評價，歷來聚訟不一。劉克莊《繳秦九韶知臨江軍奏狀》說他「暴如虎狼，毒如蛇蠍」。周密《癸辛雜識》稱：「秦九韶與吳履齋交尤稔。」近人徐品方、孔國平所著的《中世紀數學泰斗秦九韶》裏所說「周密等人記載的失實，嚴重歪曲了秦九韶的形象」。錢寶琮在《秦九韶<數書九章>研究》一文同意秦九韶「性喜奢好大」的說法，並指責秦九韶「在著作中也有好高騖遠，譁眾取寵的作風」。
10. 周密《癸辛雜識》：「秦復追隨之。吳旋得謫，賈當國，徐摭秦事，竄之梅州。在梅治政不輟，竟殂於梅。」
11. Victor J. Katz "A history of mathematics: an introduction." New York (1993).
12. 錢寶琮. 《增乘开方术的历史发展》. 李儼錢寶琮科學史全集·第九卷. ISBN 978-7-538-24807-4.

外部連結

• "Qin Jiushao" at www-gap.dcs.st-and.ac.uk （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

參見

• 中國數學史主題
• 人物主題

• 《數書九章》
• 中國剩餘定理
  • 大衍求一術
• 增乘開方術
• 秦九韶算法