線性泛函從向量空間到其標量場的線性映射 / 維基百科,自由的 encyclopedia 在線性代數中,線性泛函(英語:linear form)是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 ℝn中,向量空間的向量以行向量表示;線性泛函則會以列向量表示,在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地,如果 V {\displaystyle V} 是域 k {\displaystyle k} 上的向量空間,線性泛函 f {\displaystyle f} 是一個從 V {\displaystyle V} 到 k {\displaystyle k} 的函數,它有以下的線性特性: f ( v → + w → ) = f ( v → ) + f ( w → ) ∀ v → , w → ∈ V {\displaystyle f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})\quad \forall \ {\vec {v}},{\vec {w}}\in V} f ( a v → ) = a f ( v → ) ∀ v → ∈ V , a ∈ k {\displaystyle f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})\quad \forall \ {\vec {v}}\in V,a\in k} 所有從 V {\displaystyle V} 到 k {\displaystyle k} 的線性泛函集合, 記為 Hom k ( V , k ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{k}(V,k)} , 本身即為一向量空間,稱為 V {\displaystyle V} 的對偶空間(或稱為 V {\displaystyle V} 的代數對偶空間,以和連續對偶空間區分)。
在線性代數中,線性泛函(英語:linear form)是指由向量空間到對應純量域的線性映射。在 ℝn中,向量空間的向量以行向量表示;線性泛函則會以列向量表示,在向量上的作用則為它們的矩陣積。一般地,如果 V {\displaystyle V} 是域 k {\displaystyle k} 上的向量空間,線性泛函 f {\displaystyle f} 是一個從 V {\displaystyle V} 到 k {\displaystyle k} 的函數,它有以下的線性特性: f ( v → + w → ) = f ( v → ) + f ( w → ) ∀ v → , w → ∈ V {\displaystyle f({\vec {v}}+{\vec {w}})=f({\vec {v}})+f({\vec {w}})\quad \forall \ {\vec {v}},{\vec {w}}\in V} f ( a v → ) = a f ( v → ) ∀ v → ∈ V , a ∈ k {\displaystyle f(a{\vec {v}})=af({\vec {v}})\quad \forall \ {\vec {v}}\in V,a\in k} 所有從 V {\displaystyle V} 到 k {\displaystyle k} 的線性泛函集合, 記為 Hom k ( V , k ) {\displaystyle \operatorname {Hom} _{k}(V,k)} , 本身即為一向量空間,稱為 V {\displaystyle V} 的對偶空間(或稱為 V {\displaystyle V} 的代數對偶空間,以和連續對偶空間區分)。