自反關係

自反關係是在邏輯學和數學中一種特殊的二元關係，這樣的二元關係被稱為自反的，也被稱為具有自反性。自反關係的一個例子是關於實數集合的「等於」關係，因為每個實數都等於它自己。對稱性、傳遞性以及自反性是定義等價關係的三個屬性。

定義

對於集合X上的二元關係R，若滿足：取X裏任一元素a，且滿足對於所有a皆存在(a,a)在R集合中，則稱二元關係R是自反的，或稱R具有自反性，或稱R為自反關係。

相關概念

${\displaystyle \forall a\in X}$，a = a，在一些系統中稱為相等公理。

一個反自反（irreflexive, anti-reflexive）的關係，是在一個集合中沒有元素與自身相關的二元關係。例如實數上的「大於」關係（x> y）。請注意，沒有自反的各種關係，並不全都是反自反的；有些關係中，部分元素與自己相關，而部分不是。例如，「x和y的乘積是偶數」的二元關係在偶數集上是自反的，在奇數集上是反自反的，在自然數集上既不是自反，也不是反自反。

關於集合S上的一個關係，如果與某個元素相關的每個元素也與它自己有關，形式上就稱為準自反：∀x，y∈S：x〜y⇒（x〜x∧y〜y）。一個例子是關於實數序列集合的「具有相同極限」的關係：並不是每個序列都有一個極限，因此這個關係不是自反的，但是如果一個序列與某個序列具有相同的極限，具有與其本身相同的限制。

S上二元關係的自反閉包是S上最小的自反關係，它是〜的超集。等價地，它是S與S上的同一性關係的聯合，形式如下：（≃）=（¯）∪（=）。例如，x <y的自反閉包是x≤y。

在集合S上的二元關係的自反性約化或反自反核是最小的關係≆，使得≆共享與〜相同的自反閉包。它可以被看作是自反封閉的反面。 它相當於S上關於〜的形式關係的補充，形式上是：（≆）=（〜）\（=）。也就是說，除了x〜x是真的，它相當於〜。例如，x≤y的自反減少是x <y。

特殊的自反關係

滿足傳遞性的自反關係稱為預序關係。滿足反對稱性的預序關係稱為偏序關係。滿足對稱性的預序關係稱為等價關係。

舉例

自反關係舉例：

• 等於
• 是……的子集（集合的包含）
• 小於等於、大於等於
• 整除

n元素集合之上的關係

一個「n」-元素集合上，自反關係的數目是2ⁿ²⁻ⁿ.^[1]

n元集上各種二元關係的數目

n	全部	遞移	自反	預序	偏序	全預序（英語：Strict weak ordering）	全序	等價
0	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	2	1	1	1	1	1	1
2	16	13	4	4	3	3	2	2
3	512	171	64	29	19	13	6	5
4	65536	3994	4096	355	219	75	24	15
n	2n2		2n2−n			Σn k=0  k! S（英語：Stirling numbers of the second kind）(n, k)	n!	Σn k=0  S（英語：Stirling numbers of the second kind）(n, k)
OEIS	A002416	A006905	A053763	A000798	A001035	A000670	A000142	A000110

參考文獻

1. On-Line Encyclopedia of Integer Sequences A053763