約翰·納皮爾在1614年[3]以及約斯特·比爾吉在6年後[4],分別發表了獨立編制的對數表,當時通過對接近1的底數的大量乘冪運算,來找到指定範圍和精度的對數和所對應的真數。當時還沒出現有理數冪的概念,按後世的觀點,約翰·納皮爾的底數0.999999910000000相當接近[5],而約斯特·比爾吉的底數1.000110000相當接近自然對數的底數。實際上不需要做開高次方這種艱難運算,約翰·納皮爾用了20年時間進行相當於數百萬次乘法的計算,亨利·布里格斯建議納皮爾改用10為底數未果,他用自己的方法[6]於1624年部份完成了常用對數表的編制。
形如的曲線都有一個代數反導數,除了特殊情況對應於雙曲線的弓形面積,即雙曲線扇形;其他情況都由1635年發表的卡瓦列里弓形面積公式給出[7],其中拋物線的弓形面積由公元前3世紀的阿基米德完成(拋物線的弓形面積),雙曲線的弓形面積需要發明一個新函數。1647年聖文森特的格列高利將對數聯繫於雙曲線的弓形面積,他發現x軸上兩點對應的雙曲線線段與原點圍成的雙曲線扇形同對應的扇形,在時面積相同,這指出了雙曲線從到的積分滿足[8]:
1649年,薩拉薩的阿爾豐斯·安東尼奧將雙曲線下的面積解釋為對數。大約1665年,伊薩克·牛頓推廣了二項式定理,他將展開並逐項積分,得到了自然對數的無窮級數。「自然對數」最早描述見於尼古拉斯·麥卡托在1668年出版的著作《Logarithmotechnia》中[9],他也獨立發現了同樣的級數,即自然對數的麥卡托級數。
大約1730年,歐拉定義互為逆函數的指數函數和自然對數為[10][11]:
1742年威廉·瓊斯發表了現在的冪指數概念[12]。
- (參見複數對數)
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