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虛數單位

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虛數單位
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
在複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。
虛數單位複平面的位置。橫軸是實數,豎軸是虛數。
各式各樣的
基本

正數
自然數
正整數
小數
有限小數
無限小數
循環小數
有理數
代數數
實數
複數
高斯整數

負數
整數
負整數
分數
單位分數
二進分數
規矩數
無理數
超越數
虛數
二次無理數
艾森斯坦整數

延伸

二元數
四元數
八元數
十六元數
超實數
大實數
上超實數

雙曲複數
雙複數
複四元數
共四元數英語Dual quaternion
超複數
超數
超現實數

其他

質數
可計算數
基數
阿列夫數
同餘
整數數列
公稱值

規矩數
可定義數
序數
超限數
p進數
數學常數

圓周率
自然對數的底
虛數單位
無窮大

數學物理工程學裏,虛數單位標記為,在電機工程和相關領域中則標記為,這是為了避免與電流(記為)混淆。虛數單位的發明使實數系統能夠延伸至複數系統。延伸的主要動機為有很多實系數多項式方程式無實數解。例如方程式就無實數解。可是倘若我們允許解答為虛數,那麼這方程式以及所有的多項式方程式都有解。

定義

虛數單位定義為二次方程式的兩個根中的一個。這方程式又可等價表達為:

由於實數的平方絕不可能是負數,我們假設有這麼一個數目解答,給它設定一個符號。很重要的一點是,是一個良定義的數學構造。

另外,虛數單位同樣可以表示為:

然而往往被誤認為是錯的,他們的證明的方法是:

因為,但是-1不等於1。
但請注意:成立的條件有,不能同時為負數。

實數運算可以延伸至虛數與複數。當計算一個表達式時,我們只需要假設是一個未知數,然後依照的定義,替代任何的出現為-1。的更高整數冪數也可以替代為,或,根據下述方程式:

一般地,有以下的公式:

其中表示被4除的餘數

方程式有兩個不同的解,它們都是有效的,且互為共軛虛數倒數。更加確切地,一旦固定了方程式的一個解,那麼(不等於)也是一個解,由於這個方程式是的唯一的定義,因此這個定義表面上有歧義。然而,只要把其中一個解選定,並固定為,那麼實際上是沒有歧義的。這是因為,雖然在數量上不是相等的(它們是一對共軛虛數),但是之間沒有質量上的區別(-1和+1就不是這樣的)。如果所有的數學書和出版物都把虛數或複數中的換成,而把換成,那麼所有的事實和定理都依然是正確的。

正當的使用

虛數單位有時記為。但是,使用這種記法時需要非常謹慎,這是因為有些在實數範圍內成立的公式在複數範圍內並不成立。例如,公式僅對於非負的實數才成立。

假若這個關係在虛數仍成立,則會出現以下情況:

(不正確)
(不正確)
(不正確)

i的運算

虛數單位
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  
的平方根在複平面的位置。
虛數單位的平方根在複平面的位置。

許多實數的運算都可以推廣到,例如平方根對數三角函數。以下運算除第一項外,均為與有關的多值函數,在實際應用時必須指明函數的定義選擇在黎曼面的哪一支。下面列出的僅僅是最常採用的黎曼面分支的計算結果。

這是因為:
使用主平方根符號表示:
其解法為先假設兩實數,使得,求解[1]
  • 一個數的次冪為:
一個數的次方根為:
利用歐拉公式
代入不同的值,可計算出無限多的解。當最小的解是0.20787957635076...[2]
  • 為底的對數為:

在程式語言

註解

  1. ^ University of Toronto Mathematics Network: What is the square root of i? URL retrieved March 26, 2007.
  2. ^ "The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers" by David Wells, Page 26.

參見

參考文獻

  • Paul J. Nahin, An Imaginary Tale, The Story of √-1, Princeton University Press, 1998

外部連結

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