取樣定理
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取樣定理是數碼訊號處理領域的重要定理。定理內容是連續訊號(通常稱作「模擬訊號」)與離散訊號(通常稱作「數碼訊號」)之間的一個基本橋樑。它確定了訊號頻寬的上限,或能擷取連續訊號的所有資訊的離散取樣訊號所允許的取樣頻率的下限。
嚴格地說,定理僅適用於具有傅利葉轉換的一類數學函數,即頻率在有限區域以外為零(參照圖1)。離散時間傅利葉轉換(泊松求和公式的一種形式)提供了實際訊號的解析延拓,但只能近似該條件。直觀上我們希望,當把連續函數化為取樣值(叫做「樣本」)的離散序列並插值到連續函數中,結果的保真度取決於原始取樣的密度(或取樣率)。取樣定理介紹了對頻寬限制的函數類型來說保真度足夠完整的取樣率的概念;在取樣過程中"資訊"實際沒有損失。定理用函數的頻寬來表示取樣率。定理也匯出了一個數學上理想的原連續訊號的重構公式。
該定理沒有排除一些並不滿足取樣率準則的特殊情況下完整重構的可能性。(參見下文非基帶訊號取樣,以及壓縮感知。)
奈奎斯特–山農取樣定理的名字是為了紀念哈里·奈奎斯特和克勞德·山農。該定理及其在插值理論中的原型曾被奧古斯丁-路易·柯西、埃米爾·博雷爾、雅克·阿達馬、夏爾-讓·德拉瓦萊·普桑、埃德蒙·泰勒·惠特克、弗拉基米爾·亞歷山德羅維奇·科捷利尼科夫等人發現或研究[1]:1-4。所以它還叫做奈奎斯特–山農–科捷利尼科夫定理、惠特克–山農–科捷利尼科夫定理、惠特克–奈奎斯特–科捷利尼科夫–山農定理及插值基本定理。