閉包 (數學)
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數學中,若對某個集合的成員進行一種運算,生成的仍然是這個集合的成員,則該集合被稱為在這個運算下閉合。 例如,實數在減法下閉合,但自然數不行:自然數 3 和 7 的減法 3 − 7 的結果不是自然數。
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2014年1月17日) |
類似的,一個集合被稱為在某些運算的搜集下閉合,如果它在每個運算之下都閉合。
一個集合在某個運算或某些運算的搜集下閉合被稱為滿足閉包性質。閉包性質經常作為公理,通常叫做閉包公理。現代集合論通常這樣定義:運算為在集合間的映射。所以向一個結構增加閉包性質作為公理是多餘的,儘管它對於子集是否閉合的問題仍有意義。
當一個集合 S 在某個運算下不閉合的時候,我們通常可以找到包含 S 的最小的閉合集合。這個最小閉合集合被稱為 S 的(關於這個運算的)閉包。例如,若把自然數集看作實數集的子集,它在減法下的閉包就是整數集。一個重要的例子是拓撲閉包。閉包的概念推廣為伽羅瓦連接,進一步為單子。 注意集合 S 必須是閉合集合的子集,這樣才能定義閉包算子。在前面的例子中,實數在減法下閉合是重要的,減法不總是在自然數的定義域中有定義的。
閉包這個詞的兩種用法不應混淆。前者用來提及閉合的性質,而後者提及包含不閉合集合的最小閉合集合。簡要的說,一個集合的閉包滿足閉包性質。