高斯曲率

微分幾何中，曲面上一點的高斯曲率是該點主曲率${\displaystyle \kappa _{1}}$和${\displaystyle \kappa _{2}}$的乘積。它是曲率的內在度量，也即，它的值只依賴於曲面上的距離如何測量，而不是曲面如何嵌入到空間。這個結果是高斯絕妙定理的主要內容。

由左至右：負高斯曲率曲面（雙曲面），零高斯曲率曲面（圓柱面），和正高斯曲率曲面（球面）。

用符號表示，高斯曲率${\displaystyle K}$定義為

${\displaystyle \mathrm {K} =\kappa _{1}\kappa _{2}\,\!}$.

也可以如下給出

${\displaystyle \mathrm {K} ={\frac {\langle (\nabla _{2}\nabla _{1}-\nabla _{1}\nabla _{2})\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}\rangle }{\det g}},}$

其中${\displaystyle \nabla _{i}=\nabla _{{\mathbf {e} }_{i}}}$是協變導數而${\displaystyle g}$是度量張量。

${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中的正規曲面的一點${\displaystyle \mathbf {p} }$，則高斯曲率為

${\displaystyle K(\mathbf {p} )=\det(S(\mathbf {p} )),}$

其中${\displaystyle S}$為形算子。

關於高斯曲率的一個很有用的公式是用等溫坐標中的拉普拉斯算子表達的劉維爾方程。

非形式化定義

利用隱函數定理將曲面用二元函數${\displaystyle f}$的圖像來表示，並且假設點${\displaystyle p}$為臨界點，也即f在該點的梯度為0（這總是可以通過適當的剛體運動來實現）。然後${\displaystyle p}$點的高斯曲率就是${\displaystyle f}$在點${\displaystyle p}$的黑塞矩陣（二階導數組成的2×2矩陣）的行列式。這個定義只要用基本的微積分知識就可以理解杯底或者帽頂「對應」鞍點的區別。

總曲率

負曲率曲面上的三角形三角之和小於平面三角形的三角之和。

曲面上某個區域的高斯曲率的曲面積分稱為總曲率。測地三角形（即黎曼球面幾何中的三角形）的總曲率等於它的內角和與${\displaystyle \pi }$的差。正曲率曲面上的三角形的內角和大於${\displaystyle \pi }$，而負曲率曲面上的三角形的內角和小於${\displaystyle \pi }$。零曲率曲面上（如歐幾里得平面），其內角和等於${\displaystyle \pi }$。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\theta _{i}=\pi +\iint _{T}K\,dA.}$

更一般的結果是高斯-博內定理。

重要定理

絕妙定理

主條目：絕妙定理

高斯的絕妙定理斷言曲面的高斯曲率由曲面上長度的測量本身決定。事實上，它完全由第一基本形式決定並且可以用第一基本形式及其一階和二階偏導數表達。等價地，嵌入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中的曲面的第二基本形式的行列式也可以這樣表達。定理的「絕妙」之處在於，雖然${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中的曲面${\displaystyle S}$上的高斯曲率的定義明顯依賴於曲面各點在空間中的定位，而高斯曲率本身只要曲面上的內在度量就可以決定，而與環境空間沒有進一步的關聯：它是一個內蘊不變量。精確地講，高斯曲率在曲面的等度變換下保持不變。

在現代微分幾何中，"曲面"抽象的看來是一個二維微分流形。將這個觀點和曲面的經典理論聯繫起來的是將抽象曲面嵌入到${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中，並用第一基本形式賦予黎曼度量。假設這個嵌入在${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中的像是曲面${\displaystyle S}$。局域等度就是${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中的開區域之間的微分同胚${\displaystyle f:U\rightarrow V}$，限制到${\displaystyle S\cap U}$就是到自己的像的等度變換。絕妙定理可以如下表述：

嵌入到${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$的光滑曲面的高斯曲率在局域等度下不變。

例如圓柱面的高斯曲率為0，和「展開」後得到的平面是一樣的。^[1]另一方面，因為半徑為${\displaystyle R}$的球面有正常數曲率${\displaystyle R^{-2}}$而平面有常數曲率0，這兩個曲面不是等度的，即使局部也不行。因此即使是一部分球面的平面表示也會扭曲距離。所以沒有測繪映射是完美的。

高斯-博內定理

主條目：高斯-博內定理

高斯-博內定理將曲面的總曲率和它的歐拉示性數聯繫起來，並且給出了一個局部幾何性質和全局拓撲性質的重要關聯。

常曲率曲面

• Minding定理(1839年)斷言所有具有相同常曲率K的曲面局域等度。Minding的一個結果是所有曲率為0的曲面可以通過彎曲平面區域來構造。這樣的曲面稱為可展曲面。Minding也提出了有常正曲率的閉曲面是否剛性的問題。

• Liebmann定理 (1900年)解決了Minding的問題。唯一常正曲率正則${\displaystyle (C^{2})\mathbf {R} ^{3}}$中的閉曲面是球面。^[2]

• 希爾伯特定理 (1901年)斷言在${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中不存在常負高斯曲率的完全解析（${\displaystyle C^{\omega }}$）正則曲面。事實上，對於浸入到${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$的${\displaystyle C^{2}}$曲面也成立，但是對於${\displaystyle C^{1}}$-曲面卻不成立。偽球面有常負高斯曲率，除了在其尖點。^[3]

其它公式

• ${\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}$中的曲面的高斯曲率可以表達為第二基本形式和第一基本形式的行列式的商：

${\displaystyle K={\frac {\det II}{\det I}}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}}.}$

• Brioschi公式只用第一基本形式給出高斯曲率:

${\displaystyle K={\frac {{\begin{vmatrix}-{\frac {1}{2}}E_{vv}+F_{uv}-{\frac {1}{2}}G_{uu}&{\frac {1}{2}}E_{u}&F_{u}-{\frac {1}{2}}E_{v}\\F_{v}-{\frac {1}{2}}G_{u}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{v}&F&G\end{vmatrix}}-{\begin{vmatrix}0&{\frac {1}{2}}E_{v}&{\frac {1}{2}}G_{u}\\{\frac {1}{2}}E_{v}&E&F\\{\frac {1}{2}}G_{u}&F&G\end{vmatrix}}}{(EG-F^{2})^{2}}}}$

• 對於正交參數化，高斯曲率為：

${\displaystyle K=-{\frac {1}{2{\sqrt {EG}}}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}{\frac {G_{u}}{\sqrt {EG}}}+{\frac {\partial }{\partial v}}{\frac {E_{v}}{\sqrt {EG}}}\right).}$

• 高斯曲率是測地圓的周長和平面上的圓的周長之差的極限:

${\displaystyle K=\lim _{r\rightarrow 0}[2\pi r-{\mbox{C}}(r)]\cdot {\frac {3}{\pi r^{3}}}}$

• 高斯曲率是測地圓的面積和平面上的圓的面積之差的極限：

${\displaystyle K=\lim _{r\rightarrow 0}[\pi r^{2}-{\mbox{A}}(r)]\cdot {\frac {12}{\pi r^{4}}}}$

• 高斯曲率可以用克里斯托費爾記號表達: ^[4]

${\displaystyle K=-{\frac {1}{E}}\left({\frac {\partial }{\partial u}}\Gamma _{12}^{2}-{\frac {\partial }{\partial v}}\Gamma _{11}^{2}+\Gamma _{12}^{1}\Gamma _{11}^{2}-\Gamma _{11}^{1}\Gamma _{12}^{2}+\Gamma _{12}^{2}\Gamma _{12}^{2}-\Gamma _{11}^{2}\Gamma _{22}^{2}\right)}$