e進位

e進制是以自然對數的底數——e作為進位制底數的進制。類似於三進制，通常使用0、1、2三個數字來表達，但由於除了0、1和2之外大部分的整數在e進制中皆需要用無窮小數來表示，因此不是一個實用的進位制，但在底數經濟度模型中，e進制被認為是最高效率的進位制^[1][2]。

性質

在e進制中，自然對數的行為與十進制中的常用對數類似^[3]，例如：

${\displaystyle \ln 1_{\left(e\right)}=0}$

${\displaystyle \ln 10_{\left(e\right)}=1}$

${\displaystyle \ln 100_{\left(e\right)}=2}$

${\displaystyle \ln 1000_{\left(e\right)}=3}$

e進制效率

在底數經濟度模型中，e進制被認為是最高效率的進位制。

當一個數用${\displaystyle x}$進位（${\displaystyle x>0,x\in \mathbb {R} }$）表達時，每個位數需要${\displaystyle x}$種符號表達，若要表達一個n位數字要儲存的元素${\displaystyle N(x)}$ ：

${\displaystyle N(x)=nx}$

而${\displaystyle x}$進制系統中表示的n位數的資訊量${\displaystyle I}$（${\displaystyle I>x}$）則有：

${\displaystyle I=x^{n}\Leftrightarrow n=\log _{x}I={\frac {\ln I}{\ln x}}}$

因此，在${\displaystyle x}$進制系統中以n位數能表示I的資訊量所需的存儲元質數${\displaystyle N(x)}$為：

${\displaystyle N(x)=nx=\ln I\cdot {\frac {x}{\ln x}}}$

在

${\displaystyle {\begin{cases}N^{\prime }(x)<0&0<x<1\\N^{\prime }(x)>0&x>1\end{cases}}}$

之下，求出哪個${\displaystyle x}$能使${\displaystyle N(x)}$最小即可， 即找到能使${\displaystyle N(x)}$微分為0的${\displaystyle x}$。

${\displaystyle {\begin{aligned}N^{\prime }(x)&=\ln I\cdot \left({\frac {x}{\ln x}}\right)^{\prime }\\&=\ln I\cdot {\frac {\ln x-1}{\left(\ln x\right)^{2}}}\\\end{aligned}}}$

在${\displaystyle \ln x=1}$時${\displaystyle N^{\prime }(x)}$有根${\displaystyle N^{\prime }(x)=0}$，

解得${\displaystyle x=e}$

因此解得以${\displaystyle e}$為底的進位制理論上能有最高的表達效率。

與其他進制比較

e進制中，除了0、1和2之外，其他整數皆需要以無窮不循環小數來表達，其中整數部分可透過貪婪演算法找出^[4]。

部分的e進制數^[5]

十進制	二進制	e進制	三進制
1	1	1	1
2	10	2	2
3	11	10.0200 1120 0001 0101	10
4	100	11.0200 1120 0001 0101	11
5	101	12.0200 1120 0001 0101	12
6	110	20.1110 1110 2102 0120	20
7	111	21.1110 1110 2102 0120	21
8	1000	100.1120 1011 1100 0100	22
9	1001	101.1120 1011 1100 0100	100
10	1010	102.1120 1011 1100 0100	101
11	1011	110.2101 0102 0201 2102	102
12	1100	111.2101 0102 0201 2102	110

無理數的e進制表示

常見無理數的e進制表示如下：

• ${\displaystyle \color {blue}\pi }$ ≈ 10.101002020002111120020101 …_(e) （OEIS數列A050948）
• ${\displaystyle \color {blue}e}$ = 10_(e)（在此記數系統為整數）
• ${\displaystyle \color {blue}{\sqrt {2}}}$ ≈ 1.100211011011121120001121 …_(e)
• ${\displaystyle \color {blue}\varphi }$ = ${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ≈ 1.112020121110010020000201 …_(e) （OEIS數列A105166）

參見

• e (數學常數)
• 廣義的進位制
• 三進制

參考文獻

1. 伊東規之『マイクロコンピュータの基礎』日本理工出版會
2. 桜井進『超・超面白くて眠れなくなる數學』PHP研究所

1. 田崎三郎. 『三』 の研究. 松山大學論集. 2011, 23 (3): 5––34.
2. Hayes, Brian, Third base, American Scientist, 2001, 89 (6): 490–494 [2019-06-17], doi:10.1511/2001.40.3268, （原始內容存檔於2016-03-24）
3. Weird Number Bases. DataGenetics. [2018-02-01]. （原始內容存檔於2018-02-03）.
4. Bryan Jacobs, Sloane, N.J.A. (編). Sequence A105116 (The part of n left of the decimal point when written in base e). The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
5. Kak, Subhash. The base-e representation of numbers and the power law (PDF). Circuits, Systems, and Signal Processing (Springer). 2021, 40 (1): 490–500 [2022-11-03]. （原始內容存檔 (PDF)於2022-11-03）.