伽瑪分佈

伽瑪分佈（英語：Gamma distribution）是統計學的一種連續機率分佈。伽瑪分佈中的參數 ${\displaystyle \alpha }$，稱為形狀參數，${\displaystyle \beta }$ 稱為尺度參數。

Gamma

機率密度函數
累積分佈函數
參數	${\displaystyle k>0\,}$ 形狀參數 (實數) ${\displaystyle \theta >0\,}$ 尺度參數 (實數)
值域	${\displaystyle x\in (0;\infty )\!}$
機率密度函數	${\displaystyle x^{k-1}{\frac {\exp {\left(-x/\theta \right)}}{\Gamma (k)\,\theta ^{k}}}\,\!}$
累積分佈函數	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,x/\theta )}{\Gamma (k)}}\,\!}$
期望值	${\displaystyle k\theta \,\!}$
中位數	no simple closed form
眾數	${\displaystyle (k-1)\theta \,\!}$ for ${\displaystyle k\geq 1\,\!}$
變異數	${\displaystyle k\theta ^{2}\,\!}$
偏度	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}\,\!}$
峰度	${\displaystyle {\frac {6}{k}}\,\!}$
熵	${\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)\!}$ ${\displaystyle +(1-k)\psi (k)\!}$
動差母函數	${\displaystyle (1-\theta \,t)^{-k}\,\!}$ for ${\displaystyle t<1/\theta \,\!}$
特徵函數	${\displaystyle (1-\theta \,i\,t)^{-k}\,\!}$

實驗定義與觀念

假設 ${\displaystyle X_{1},X_{2},\cdots ,X_{n}}$為連續發生事件的等候時間，且這 ${\displaystyle n}$ 次等候時間為獨立的，那麼這 ${\displaystyle n}$ 次等候時間之和 ${\displaystyle Y}$ （${\displaystyle Y=X_{1}+X_{2}+\cdots +X_{n}}$）服從伽瑪分佈，即 ${\displaystyle Y}$~Gamma${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$，亦可記作Y~Gamma${\displaystyle (\alpha ,\lambda )}$，其中 ${\displaystyle \alpha =n}$，而 ${\displaystyle \beta }$ 與 ${\displaystyle \lambda }$ 互為倒數關係，${\displaystyle \lambda }$ 表單位時間內事件的發生率。

指數分佈為 ${\displaystyle \alpha =1}$ 的伽瑪分佈。

記號

有兩種表記方法：

${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\beta )}$或${\displaystyle X\sim \Gamma (\alpha ,\lambda )}$

兩者所表達意義相同，只要將以下式子做${\displaystyle {\color {Red}\lambda ={\frac {1}{\beta }}}}$的替換即可，即，其機率密度函數為：

${\displaystyle f\left(x\right)={\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}{\color {Red}\lambda }^{\alpha }e^{\left(-{\color {Red}\lambda }x\right)}}{\Gamma \left(\alpha \right)}}={\frac {x^{\left(\alpha -1\right)}e^{\left(-{\color {Red}{\frac {1}{\beta }}}x\right)}}{{\color {Red}\beta }^{\alpha }\Gamma \left(\alpha \right)}}}$，x > 0

其中Gamma函數之特徵為：

${\displaystyle {\begin{cases}\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)!&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {Z} ^{+}\\\Gamma (\alpha )=(\alpha -1)\Gamma (\alpha -1)&{\mbox{if }}\alpha {\mbox{ is }}\mathbb {R} ^{+}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}\end{cases}}}$

特性

母函數、期望值、方差

• Gamma分配的矩母函數（m.g.f）

${\displaystyle M_{x}\left(t\right)=E\left(e^{xt}\right)={\frac {\lambda ^{\alpha }}{\Gamma \left(\alpha \right)}}\int _{0}^{\infty }e^{xt}x^{\alpha -1}e^{-\lambda x}dx=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{\alpha }=\left(1-{\beta }{t}\right)^{-\alpha }}$

• 機率母函數（p.g.f）

${\displaystyle K_{x}\left(t\right)=\ln M_{x}\left(t\right)=\alpha \left[\ln \lambda -\ln \left(\lambda -t\right)\right]}$

• 期望值

${\displaystyle {\frac {dK_{x}\left(t\right)}{dt}}={\frac {\alpha }{\lambda -t}},\quad when(t=0),E\left(X\right)={\frac {\alpha }{\color {Red}\lambda }}=\alpha {\color {Red}\beta }}$

• 方差

${\displaystyle {\frac {d^{2}K_{x}\left(t\right)}{dt^{2}}}={\frac {\alpha }{\left(\lambda -t\right)^{2}}},\quad when(t=0),\sigma ^{2}\left(X\right)={\frac {\alpha }{\color {Red}{\lambda ^{2}}}}=\alpha {\color {Red}{\beta ^{2}}}}$

Gamma的可加性

當兩隨機變量服從Gamma分佈，且相互獨立，且參數（${\displaystyle \lambda }$或${\displaystyle \beta }$）相同時，Gamma分佈具有可加性。

${\displaystyle \coprod {\begin{cases}r.v.X\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{1}},\lambda \right)\\r.v.Y\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{2}},\lambda \right)\end{cases}}\Longrightarrow X+Y\sim \Gamma \left({\color {green}\alpha _{1}+\alpha _{2}},\lambda \right)}$

外部連結

• LDA-math-神奇的Gamma函數（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• 分佈計算器（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（英文）