最小上界

給定偏序集合(T,≤)，對於S⊆T，S的上確界sup(S)定義為S的所有上界組成的集合的最小元（若有）。即sup(S)滿足：

∀s∈S ⇒ s≤sup(S)
∀t∈T，若t滿足∀s∈S ⇒ s≤t，則有sup(S)≤t。
sup(S)∈T。

上確界也被稱為最小上界、lub 或 LUB，在格論中也被稱為並，在序理論中S的上確界也被記為解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \vee} S。

若S包含最大元素，則該元素就是上確界。
若S有上確界，則上確界是唯一的。
上確界的對偶概念最大下界叫做下確界或交。
偏序集合的子集可能沒有上確界，即使它有上界。
上確界一定不能混淆於極小，上界，極大元或最大元。

例子

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sup \{ 1, 2, 3 \} = 3\,}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 < x < 1 \} = \sup \{ x \in \mathbb{R} : 0 \leq x \leq 1 \} = 1\,}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sup \{ (-1)^n - \frac{1}{n} : n \in \mathbb{N} \} = 1\,}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sup \{ a + b : a \in A \mbox{ and } b \in B\} = \sup(A) + \sup(B)\,}

這個有理數的集合的上確界是個無理數，這意味着有理數是不完備的。

此外，如果我們定義在 S 是空集的時候 sup(S) = −∞ 和在 S 沒有上界的時候 sup(S) = +∞ ，則實數的所有集合都在擴展的實數軸上有上確界。

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sup \mathbb{Z} = \infty\,}

解析失败 (SVG（MathML可通过浏览器插件启用）：从服务器“http://localhost:6011/zh.wikipedia.org/v1/”返回无效的响应（“Math extension cannot connect to Restbase.”）：): {\displaystyle \sup \varnothing = -\infty\,}

如果上確界屬於這個集合，則它是這個集合的最大元素。術語極大元在處理實數或任何其他全序集合的時候是同義的。

要證明 a = sup(S)，必須證明 a 是 S 的上界並且 S 的任何其他上界大於 a；等價地，也可以證明 a 是 S 的上界並且小於 a 的任何數都不是 S 的上界。

定義

數學分析中的上確界

例子

參考文獻

外部連結

參見

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