中心 (群論)

在抽象代數中，群${\displaystyle G}$的中心${\displaystyle Z\left(G\right)}$是所有在${\displaystyle G}$中和${\displaystyle G}$的所有元素可交換的元素的集合，也就是：

${\displaystyle Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}}$

注意${\displaystyle Z\left(G\right)}$是一個${\displaystyle G}$的子群：若${\displaystyle x}$和${\displaystyle y}$在${\displaystyle Z\left(G\right)}$中，則${\displaystyle \left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G}$，故${\displaystyle xy}$也在${\displaystyle Z\left(G\right)}$中。同樣的論證對於逆操作也成立。

而且，${\displaystyle Z\left(G\right)}$是一個${\displaystyle G}$的可交換子群，也是${\displaystyle G}$的正規子群，甚至是${\displaystyle G}$的嚴格特徵子群，但不總是完全特徵的。

${\displaystyle G}$的中心是整個${\displaystyle G}$當且僅當${\displaystyle G}$是可交換群。另一個極端是，若${\displaystyle Z\left(G\right)}$是平凡群，群可以是無中心的。

考慮映射${\displaystyle \Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)}$，這是到${\displaystyle G}$的自同構群的映射，定義為：

${\displaystyle G}$中每個元素${\displaystyle G}$在${\displaystyle \Phi }$下的像是自同構${\displaystyle h\longmapsto ghg^{-1}}$。${\displaystyle \Phi }$的核是${\displaystyle G}$的中心，而${\displaystyle \Phi }$的像稱為${\displaystyle G}$的內自同構群，記為${\displaystyle \operatorname {Inn} \left(G\right)}$，按照第一同構定理：${\displaystyle G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)}$。

例子

阿貝爾群G的中心即為其自身G。

正交群${\displaystyle O\left(n\right)}$的中心是${\displaystyle \left\{I,-I\right\}}$。

參見

• 中心 (代數)
• 中心化子和正規化子
• 共軛類