二進分數

二進分數，也稱為二進有理數，是一種分母是2的冪的分數。可以表示成${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}}$，其中，${\displaystyle a}$是一個整數，${\displaystyle b}$是一個自然數。例如：${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$，${\displaystyle {\frac {3}{8}}}$，而${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$就不是。(英制單位中廣泛採用二進分數，例如${\displaystyle {\frac {3}{4}}}$英寸，${\displaystyle {\frac {1}{16}}}$英寸，${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$磅。)

從0到1的二進分數。

各式各樣的數

基本

${\displaystyle \mathbb {N} \subseteq \mathbb {Z} \subseteq \mathbb {Q} \subseteq \mathbb {R} \subseteq \mathbb {C} }$ 正數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$ 自然數 ${\displaystyle \mathbb {N} }$ 正整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{+}}$ 小數 有限小數 無限小數 循環小數 有理數 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 代數數 ${\displaystyle \mathbb {A} }$ 實數 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ 複數 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 高斯整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ 負數 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{-}}$ 整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 負整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}$ 分數 單位分數 二進分數 規矩數 無理數 超越數 虛數 ${\displaystyle \mathbb {I} }$ 二次無理數 艾森斯坦整數 ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$

延伸

二元數 四元數 ${\displaystyle \mathbb {H} }$ 八元數 ${\displaystyle \mathbb {O} }$ 十六元數 ${\displaystyle \mathbb {S} }$ 超實數 ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ 大實數 上超實數 雙曲複數 雙複數 複四元數 共四元數（英語：Dual quaternion） 超複數 超數 超現實數

其他

質數 ${\displaystyle \mathbb {P} }$ 可計算數 基數 阿列夫數 同餘 整數數列 公稱值 規矩數 可定義數 序數 超限數 p進數 數學常數 圓周率 ${\displaystyle \pi =3.14159265}$… 自然對數的底 ${\displaystyle e=2.718281828}$… 虛數單位 ${\displaystyle i={\sqrt {-{1}}}}$ 無限大 ${\displaystyle \infty }$

閱 論 編

所有二進分數組成的集合在實數軸上是稠密的：任何實數${\displaystyle x}$都可以用形為${\displaystyle \lfloor 2^{i}x\rfloor /2^{i}}$的二進分數無限逼近。與實數軸上的其它稠密集，例如有理數相比，二進分數是相對「小」的稠密集，這就是為什麼它們有時出現在證明中（例如烏雷松引理）。

任何兩個二進分數的和、積，與差也是二進分數：

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a+c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a-c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a-2^{b-d}c}{2^{b}}}\quad (d<b)}$

${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a\times c}{2^{b+d}}}.}$

但是，兩個二進分數的商則一般不是二進分數。因此，二進分數形成了有理數${\displaystyle \mathbb {Q} }$的一個子環。