餘切定理

餘切定理是三角學中關於三角形內切圓半徑的定理。

一個三角形。它的三個內角及其對邊。

假設${\displaystyle \alpha }$, ${\displaystyle \beta }$, 與${\displaystyle \gamma }$是三角形的三個內角，${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$, 與${\displaystyle c}$是與之對應的三個對邊，若

${\displaystyle \zeta ={\sqrt {{\frac {1}{s}}(s-a)(s-b)(s-c)}}}$ （ζ 為這個三角形的內切圓半徑），其中：

${\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}}$（${\displaystyle s}$為三角形的半周長），

那麼餘切定理告訴我們：^[1]

${\displaystyle \cot {\frac {\alpha }{2}}={\frac {s-a}{\zeta }}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\beta }{2}}={\frac {s-b}{\zeta }}}$

${\displaystyle \cot {\frac {\gamma }{2}}={\frac {s-c}{\zeta }}}$

還有

${\displaystyle {\frac {\cot {\frac {\alpha }{2}}}{s-a}}={\frac {\cot {\frac {\beta }{2}}}{s-b}}={\frac {\cot {\frac {\gamma }{2}}}{s-c}}.}$

總而言之，餘切定理就是：某個角一半的餘切等於半周長減去這個角所對的邊長再除以三角形的內切圓半徑。

參見

• 正弦定理
• 餘弦定理
• 正切定理
• 海倫公式