全純函數

數學中，全純函數（英語：Holomorphic function）是複分析研究的中心物件；它們是定義在複平面${\displaystyle \mathbb {C} }$的開子集上的，在複數平面${\displaystyle \mathbb {C} }$中取值的，在每點上皆複可微的函數。複可微是一個非常強的條件，如果一個複函數在一個鄰域可微，可以由此推出該函數無窮可微，而且在一個足夠小的鄰域中為解析函數^[1]。因此在複分析中，解析函數（analytic function）一詞可以和「全純函數」交換使用，但前者有幾個其他含義，如實數解析函數，而「全純函數」一詞僅用於複分析。

直角坐標網（上）經一全純函數f共形映射後的結果（下）

全純函數有時稱為正則函數。在整個複數平面上都全純的函數稱為整函數。函數在一點${\displaystyle a}$全純，不僅是指其在點${\displaystyle a}$可微，而且表示其在某個中心為${\displaystyle a}$的複數平面上的開鄰域上可微。

雙全純函數（biholomorphic）表示有全純逆函數的全純函數。

定義

若 ${\displaystyle U}$ 為 ${\displaystyle \mathbb {C} }$ 的開子集，且 ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} }$ 為一個函數。

我們稱 ${\displaystyle f}$ 在 ${\displaystyle U}$ 中一點 ${\textstyle z_{0}}$ 複可微（complex differentiable），當且僅當該極限存在：

${\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{z\rightarrow z_{0}}{f(z)-f(z_{0}) \over z-z_{0}}}$

• 若${\displaystyle f}$在${\textstyle U}$上任取一點均複可微，則稱${\displaystyle f}$在${\textstyle U}$上全純。
• 特別地，若函數在整個複數平面全純，我們稱這個函數為整函數。

其中，極限取所有趨向${\textstyle z_{0}}$的複數列，並對所有這種序列差的商趨向同一個數${\textstyle f'(z_{0})}$，另外，這個可微性的概念和實可微性有幾個相同性質：它是線性的，並服從乘積，商和連鎖律。

下面是一個等價的定義，將一個複函數視作 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 到自身的映射，寫作 ${\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}$ ，則複函數 ${\displaystyle f}$ 全純當且僅當它滿足柯西-黎曼方程：^[2]

• ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}}$ ， ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}$。

範例

有理函數

• 所有的複系數多項式函數為整函數
• 所有複系數的有理函數，在除去極點以外的區域均為全純。例如，函數${\displaystyle f:z\mapsto {\frac {1}{z}}}$在${\displaystyle \mathbb {C^{*}} }$上為全純函數。

由冪級數定義的函數

若${\displaystyle \Sigma _{n\geq 0}a_{n}z^{n}}$複系數冪級數，且收斂半徑不為零，我們記${\displaystyle D}$為其收斂區域。

函數

${\displaystyle {\begin{aligned}f:D&\rightarrow \mathbb {C} \\z&\mapsto \Sigma _{n\geq 0}a_{n}z^{n}\\\end{aligned}}}$

為全純函數，且任取${\displaystyle z\in D,f'(z)=\Sigma _{n\geq 1}{na_{n}z^{n-1}}}$.事實上，這個函數在${\displaystyle D}$上無窮可導。

指數函數為整函數，同樣地，三角函數${\displaystyle \sin z,\,\cos z}$^{[註 1]}與雙曲函數同樣為整函數。

複對數

若在一個連通集上的函數${\displaystyle L:U\rightarrow \mathbb {C} }$滿足條件：${\displaystyle \forall z\in D,\exp(L(z))=z}$，則稱其為一個複對數函數。

另有一等價定義，即若全純函數${\displaystyle L}$在${\displaystyle U}$上以${\displaystyle z\mapsto 1/z}$為導數，且存在一點${\displaystyle z_{0}}$，使得這一點${\displaystyle \exp(L(z_{0}))=z_{0}}$，則稱其為一個複對數函數。

在${\displaystyle \mathbb {C^{*}} }$的任意開子集${\displaystyle U}$上，若有一個複對數${\displaystyle L}$，那麼任取整數${\displaystyle k}$，函數${\displaystyle z\mapsto L(z)+2k\pi i}$也為${\displaystyle U}$上的複對數函數。

冪函數

在${\displaystyle \mathbb {C^{*}} }$的任意開子集${\displaystyle U}$上，若有一個複對數${\displaystyle L}$，那麼任取複數${\displaystyle a}$，在${\displaystyle U}$上${\displaystyle a}$階冪函數可以定義為${\displaystyle \forall z\in U,z^{a}=\exp(aL(z))}$

特別地，任取整數${\displaystyle n>0}$，有${\displaystyle z^{1/n}=\exp((1/n)L(z))}$，滿足${\displaystyle \forall z\in U,(z^{1/n})^{n}=z}$，我們稱此表達式為${\displaystyle U}$上${\displaystyle n}$階冪的定義式。另外，記${\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}:=z^{1/n}}$^{[註 2]}。

性質

因為複微分是線性的，並且服從積、商、連鎖律，所以全純函數的和、積及複合是全純的，而兩個全純函數的商在所有分母非0的地方全純。

每個全純函數在每一點無窮可微。它和它自己的泰勒級數相等，而泰勒級數在每個完全位於定義域${\displaystyle U}$內的開圓盤上收斂。泰勒級數也可能在一個更大的圓盤上收斂；例如，對數的泰勒級數在每個不包含0的圓盤上收斂，甚至在複實軸的附近也是如此。

若把${\displaystyle \mathbb {C} }$和${\displaystyle \mathbb {R^{2}} }$等同起來，則全純函數和滿足柯西-黎曼方程的雙實變量函數相同，該方程組含有兩個偏微分方程。

在非0導數的點的附近，全純函數是共形的^{[註 3]}。因為他們保持了小圖形的角度和形狀^{[註 4]}。

柯西積分公式表明每個全純函數在圓盤內的值由它在盤邊界上的取值所完全決定。

多變量情形

多複變函數的複解析函數定義為在一點全純和解析，如果它局部可以^{[註 5]}擴張為收斂的各個變量的冪級數。這個條件比柯西-黎曼方程要強；事實上它可以這樣表述為一個多複變量函數是全純的當且僅當它滿足柯西-黎曼方程並且局部平方可積。

擴展到泛函分析

全純函數的概念可以擴展到泛函分析中的無窮維空間。Fréchet導數條目介紹了巴拿赫空間上的全純函數的概念。

註釋

1. 可通過指數函數使用歐拉公式定義
2. 若對於正實數，這種定義方式可能與其通常含義存在衝突
3. 或稱保角的
4. 但尺寸可能改變
5. 在一個多盤，也即中心在該點的圓盤的直積