刀切法

統計學中，刀切法（英語：jackknife）是一種重抽樣方法，常用於對統計量的方差和偏差的估計。樣本的刀切法估計量是指將樣本去除每個元素後重新計算估計量，再將這些估計量取平均值。刀切法是自助法的一個線性近似。「刀切法」的名字由美國數學家約翰·圖基提出，意在說明本方法像便攜式小刀一樣簡單但實用，可解決多種統計問題。^[1]給定一個大小為${\displaystyle n}$的樣本，刀切法的估計量可以通過聚合每個大小為${\displaystyle n-1}$子樣本得出。

範例：均值估計

刀切法的估計量可以通過將數據集中的每個觀測值逐一排除後計算該參數並整合排除後所有結果的方法系統地得出。

例如，若被估計量為隨機變量${\displaystyle x}$的總體均值，那麼對於一系列獨立同分佈的觀測值${\displaystyle x_{1},...x_{n}}$，樣本均值的估計量即為：

${\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\frac {1}{n}}\sum _{i\in [n]}x_{i},}$

第二個求和式中求和符號的下標意為求和序數${\displaystyle i}$遍歷集合${\displaystyle [n]=\{1,...,n\}}$。

接下來執行刀切法，對於${\displaystyle i\in [n]}$，計算不包含第${\displaystyle i}$個樣本的刀切法子樣本均值,其中${\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}}$也被稱為第${\displaystyle i}$個刀切法replicate。

${\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j\in [n]j\neq i}x_{j}}$ , ${\displaystyle i=1,...n}$

可以理解為這${\displaystyle n}$個刀切法replicate ${\displaystyle {\bar {x}}_{(i)}...{\bar {x}}_{(n)}}$近似了樣本均值${\displaystyle {\bar {x}}}$的分佈。樣本容量${\displaystyle n}$的增加可以提高上述近似的精度。取上述刀切法replicate的均值即可得到刀切法的均值：

${\displaystyle {\bar {x}}_{jack}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\bar {x}}_{j}}$

關於${\displaystyle {\bar {x}}_{jack}}$的方差和偏置：從${\displaystyle {\bar {x}}_{jack}}$的定義不難看出，偏置在刀切replicate的均值計算中不那麼顯著，因為每個刀切replicate並非獨立，所以相較而言${\displaystyle {\bar {x}}_{jack}}$的方差更為重要。

對刀切法的均值式稍作轉換不難得出：

${\displaystyle {\bar {x}}_{jack}={\frac {1}{n-1}}\sum _{j\in [n],j\neq i}^{n-1}x_{j}}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}({\frac {1}{n-1}}\sum _{j\in [n],j\neq i}^{n}x_{j})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n(n-1)}}\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{n}x_{j}-x_{i})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n(n-1)}}\cdot (n\sum _{i=1}^{n}x_{i}-\sum _{i=1}^{n}x_{i})}$

${\displaystyle ={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}={\bar {x}}}$

參見

• 自助法