分部求和法

分部求和法（英語：Summation by parts）也叫阿貝爾變換（英語：Abel transformation，有別於Abel transform）或阿貝爾引理（英語：Abel's lemma）是求和的一種方法。設${\displaystyle \{f_{k}\}}$和${\displaystyle \{g_{k}\}}$為兩個數列，則有

${\displaystyle \sum _{k=m}^{n}f_{k}(g_{k+1}-g_{k})=\left[f_{n+1}g_{n+1}-f_{m}g_{m}\right]-\sum _{k=m}^{n}g_{k+1}(f_{k+1}-f_{k})}$.

它被用來證明積分第二中值定理。

分部求和公式也可被寫成比較對稱的方式：

${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}\left(b_{i}-b_{i-1}\right)a_{i}+\sum _{i=m+1}^{n}\left(a_{i}-a_{i-1}\right)b_{i-1}=a_{n}b_{n}-a_{m}b_{m}=\sum _{i=m+1}^{n}\left(b_{i}-b_{i-1}\right)a_{i-1}+\sum _{i=m+1}^{n}\left(a_{i}-a_{i-1}\right)b_{i}}$

注意： 用於證明狄利克雷判別法、阿貝爾判別法的分部求和公式需要調整角標，以湊出和式。

${\displaystyle \sum _{i=m+1}^{n}\left(b_{i}-b_{i-1}\right)a_{i}+\sum _{i=m+1}^{n-1}\left(a_{i+1}-a_{i}\right)b_{i}=a_{n}b_{n}-a_{m+1}b_{m}}$

參見

• 分部積分法