凸共軛

在數學中，凸共軛（英語：convex conjugate）是勒讓德變換的一種推廣；凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換（Legendre–Fenchel transformation），以阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。

定義

函數${\displaystyle f:X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$在擴展的實數軸上取值。

它的凸共軛定義為：${\displaystyle f^{\star }:X^{*}\rightarrow (-\infty ,+\infty ]:x^{*}\rightarrow \sup\{\left\langle x^{*},x\right\rangle -f(x)\mid x\in X\}}$

這裏，${\displaystyle X}$表示實賦範向量空間，${\displaystyle X^{*}}$表示${\displaystyle X}$的對偶空間。

映射${\displaystyle \left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle :X^{*}\times X\rightarrow (-\infty ,+\infty ]}$表示一個二次型，滿足：對於${\displaystyle X^{*}}$（${\displaystyle X}$）中任意非零元素${\displaystyle x^{*}}$，總能在${\displaystyle X}$（對應地，${\displaystyle X^{*}}$）中找到一個元素${\displaystyle x}$使得${\displaystyle \left\langle x^{*},x\right\rangle =0}$。

例子

• 仿射變換${\displaystyle f(x)=\left\langle a,x\right\rangle -b,\,a\in \mathbb {R} ^{n},b\in \mathbb {R} }$；它的凸共軛是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}b,&x^{*}=a\\+\infty ,&x^{*}\neq a.\end{cases}}}$

• 冪函數${\displaystyle f(x)={\frac {1}{p}}|x|^{p},\,1<p<\infty }$；它的凸共軛是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\frac {1}{q}}|x^{*}|^{q},\,1<q<\infty }$ 這裏 ${\displaystyle {\tfrac {1}{p}}+{\tfrac {1}{q}}=1.}$

• 絕對值變換${\displaystyle f(x)=\left|x\right|}$；它的凸共軛是：

${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}0,&\left|x^{*}\right|\leq 1\\\infty ,&\left|x^{*}\right|>1.\end{cases}}}$

• 指數函數

${\displaystyle f(x)=\,\!e^{x}}$；它的凸共軛是： ${\displaystyle f^{\star }\left(x^{*}\right)={\begin{cases}x^{*}\ln x^{*}-x^{*},&x^{*}>0\\0,&x^{*}=0\\\infty ,&x^{*}<0.\end{cases}}}$

性質

逆序性

如果${\displaystyle f\leq g}$，那麼就有${\displaystyle g^{*}\geq f^{*}}$。這裏的${\displaystyle f\leq g}$指，對定義域中所有元素${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)\leq g(x)}$成立。

半連續性與兩次凸共軛

函數${\displaystyle f}$的凸共軛總具有半連續性，因此函數${\displaystyle f}$的兩次共軛${\displaystyle f^{**}}$也具有半連續性。同時，${\displaystyle f^{**}}$還是是閉凸包，也即最大的凸的半連續函數，滿足${\displaystyle f^{**}\leq f}$。

由Fenchel-Moreau定理可以知道，對於合適的函數${\displaystyle f}$， ${\displaystyle f^{**}=f}$ 若且唯若${\displaystyle f}$是半連續的凸函數。

Fenchel不等式

${\displaystyle \left\langle p,x\right\rangle \leq f(x)+f^{*}(p)}$ ， 這裏${\displaystyle x\in X,p\in X^{*}}$，${\displaystyle f^{*}}$是${\displaystyle f}$的凸共軛。

凸性

凸共軛算子自身是凸的，即：

取函數${\displaystyle f_{1},f_{2}}$，${\displaystyle (0,1)}$間任意實數${\displaystyle \lambda }$，有：${\displaystyle \left((1-\lambda )f_{0}+\lambda f_{1}\right)^{\star }\leq (1-\lambda )f_{0}^{\star }+\lambda f_{1}^{\star }}$ 成立。

最小值卷積

對於兩個函數f和g，它們的最小值卷積被定義為

${\displaystyle \left(f\Box g\right)(x)=\inf \left\{f(x-y)+g(y)\,|\,y\in \mathbb {R} ^{n}\right\}.}$

如果 f₁, …, f_m 都是Rⁿ上的proper且凸且半連續的函數。那麼它們的最小值卷積是凸且半連續的（但不一定proper），並且滿足關係

${\displaystyle \left(f_{1}\Box \cdots \Box f_{m}\right)^{*}=f_{1}^{*}+\cdots +f_{m}^{*}.}$

兩個函數的最小值卷積具有幾何意義。兩個函數的最小值卷積的超圖是這兩個函數的超圖的閔可夫斯基和