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凸共軛
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在數學中,凸共軛(英語:convex conjugate)是勒讓德變換的一種推廣;凸共軛也被稱作勒讓德-芬克爾變換(Legendre–Fenchel transformation),以阿德里安-馬里·勒讓德和威爾納·芬克爾命名。
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2024年10月4日) |
定義
函數在擴展的實數軸上取值。
它的凸共軛定義為:
映射表示一個二次型,滿足:對於()中任意非零元素,總能在(對應地,)中找到一個元素使得。
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例子
- 仿射變換;它的凸共軛是:
- 冪函數;它的凸共軛是:
這裏
- 絕對值變換;它的凸共軛是:
;它的凸共軛是:
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性質
如果,那麼就有。這裏的指,對定義域中所有元素,都有成立。
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函數的凸共軛總具有半連續性,因此函數的兩次共軛也具有半連續性。同時,還是是閉凸包,也即最大的凸的半連續函數,滿足。
由Fenchel-Moreau定理可以知道,對於合適的函數, 若且唯若是半連續的凸函數。
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, 這裏,是的凸共軛。
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凸共軛算子自身是凸的,即:
取函數,間任意實數,有: 成立。
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對於兩個函數f和g,它們的最小值卷積被定義為
如果 f1, …, fm 都是Rn上的proper且凸且半連續的函數。那麼它們的最小值卷積是凸且半連續的(但不一定proper),並且滿足關係
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