協方差函數

在概率論和統計學中, 協方差 是一種兩個變量如何相關變化的度量，而協方差函數（英語：Covariance function）, 或稱核函數, 描述一個隨機過程或隨機場中的空間上的協方差。 對於一個隨機場或 隨機過程 Z(x) 在定義域 D， 一個協方差函數C(x, y) 給出在兩個點x 和 y 的值的協方差：

${\displaystyle C(x,y):=\operatorname {cov} (Z(x),Z(y)).\,}$

C(x, y) 在兩種情況下稱為 自協方差 函數: 在時間序列 (概念一致，除了x和y 指時間點而不是空間點), 以及在多變量隨機場 (指變量自己的協方差，而不是互協方差）.^[1]

可容許性

對點 x₁, x₂, …, x_N ∈ D 為每種線性組合的方差

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{N}w_{i}Z(x_{i})}$

可計算為

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}w_{i}C(x_{i},x_{j})w_{j}.}$

一個函數為有效的協方差函數當且僅當^[2] 這個方差對所有可能的N和權重w₁, …, w_N非負。一個有這種性質的函數成為 正定.

平穩簡化

對弱 平穩 隨機場, 其中

${\displaystyle C(x_{i},x_{j})=C(x_{i}+h,x_{j}+h)\,}$

對任意延遲 h, 協方差函數可表示為一元函數：

${\displaystyle C_{s}(h)=C(0,h)=C(x,x+h)\,}$

稱為 協變差圖 也是 協方差函數. C(x_i, x_j) 可由 C_s(h) 計算:

${\displaystyle C(x,y)=C_{s}(y-x).\,}$

參見

• 變差函數
• 隨機場
• 隨機過程
• 克里格法
• 自相關函數
• 相關函數