卡方分布

卡方分佈（英語：chi-square distribution^[2], χ²-distribution，或寫作χ²分佈）是機率論與統計學中常用的一種機率分佈。k個獨立的標準正態分佈變量的平方和服從自由度為k的卡方分佈。卡方分佈是一種特殊的伽瑪分佈，是統計推論中應用最為廣泛的機率分佈之一，例如假設檢定和信賴區間的計算。

卡方分佈

機率密度函數
累積分佈函數
參數	${\displaystyle k\in \mathbb {N} ^{\star }~~}$ 自由度
值域	${\displaystyle x\in [0;+\infty )}$，
機率密度函數	${\displaystyle {\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{-{\frac {x}{2}}}\,}$
累積分佈函數	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}}\;\gamma \left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}$
期望值	${\displaystyle k}$
中位數	${\displaystyle \approx k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}}$
眾數	max{ k − 2, 0 }
變異數	${\displaystyle 2k}$
偏度	${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {8/k}}\,}$
峰度	${\displaystyle 12/k}$
熵	${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {k}{2}}&+\ln(2\Gamma (k/2))\\&\!+(1-k/2)\psi (k/2)\end{aligned}}}$
動差母函數	${\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}}$，${\displaystyle 2\,t<1}$
特徵函數	${\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}}$[1]

由卡方分佈延伸出來皮爾森卡方檢定常用於：

1. 樣本某性質的比例分佈與母體理論分佈的適配度（例如某行政機關男女比是否符合該機關所在城鎮的男女比）；
2. 同一母體的兩個隨機變量是否獨立（例如人的身高與交通違規的關聯性）；
3. 二或多個母體同一屬性的同質性檢定（意大利麵店和壽司店的營業額有沒有差距）。（詳見皮爾森卡方檢定）

數學定義

若k個隨機變量${\displaystyle Z_{1}}$、……、${\displaystyle Z_{k}}$是相互獨立且符合標準正態分佈的隨機變量（數學期望值為0、變異數為1），則隨機變量Z的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}Z_{i}^{2}}$

被稱為服從自由度為 k 的卡方分佈，記作

${\displaystyle X\ \sim \ \chi ^{2}(k)\,}$

${\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{k}^{2}}$

性質

可以在文章右上角的表中看到更多卡方分佈的性質。

機率密度函數

卡方分佈的機率密度函數為：

${\displaystyle f_{k}(x)={\frac {1}{2^{\frac {k}{2}}\Gamma ({\frac {k}{2}})}}x^{{\frac {k}{2}}-1}e^{\frac {-x}{2}}}$

其中${\displaystyle x\geq 0}$，當${\displaystyle x\leq 0}$時${\displaystyle f_{k}(x)=0}$。這裏Γ代表Gamma函數。

累積分佈函數

卡方分佈的累積分佈函數為：

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma {\Bigl (}{\frac {k}{2}},{\frac {x}{2}}{\Bigr )}}{\Gamma ({\frac {k}{2}})}}}$，

其中γ(k,z)為不完全Γ函數

在大多數涉及卡方分佈的書中都會提供它的累積分佈函數的對照表。此外許多表格計算軟件如OpenOffice.org Calc和Microsoft Excel中都包括卡方分佈函數。

自由度為k的卡方變量的平均值是k，變異數是2k。 卡方分佈是伽瑪分佈的一個特例，它的熵為：

${\displaystyle H=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ln(f(x))dx={\frac {k}{2}}+\ln \left(2\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)\right)+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi (k/2)}$

其中${\displaystyle \psi (x)}$是雙伽瑪函數。

卡方變數與Gamma變數的關系

當Gamma變數 頻率（λ）為1/2時，α的2倍為卡方變數之自由度。 即：

${\displaystyle r.v.Y=\chi ^{2}\left(U\right)=\Gamma \left(\alpha ={\frac {U}{2}},\lambda ={\frac {1}{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {E} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda }}={\frac {\frac {U}{2}}{\frac {1}{2}}}=U}$

${\displaystyle \operatorname {Var} \left(\chi ^{2}\left(U\right)\right)=\operatorname {Var} \left(Y\right)={\frac {\alpha }{\lambda ^{2}}}={\frac {\frac {U}{2}}{\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}}}=2U}$

卡方變數之期望值＝自由度 卡方變數之變異數＝兩倍自由度

可加性

由定義可得，獨立卡方變量之和同樣服從卡方分佈。特別地，若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots X_{n}}$分別獨立服從自由度為${\displaystyle k_{1},k_{2},\dots k_{n}}$的卡方分佈，那麼它們的和${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}}$服從自由度為${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}k_{i}}$的卡方分佈。

偏差的平方和

若k個隨機變量${\displaystyle Z_{1}}$、……、${\displaystyle Z_{k}}$是相互獨立，符合標準正態分佈的隨機變量，則它們與均值之間偏差的平方和

${\displaystyle X=\sum _{i=1}^{k}(Z_{i}-{\bar {Z}})^{2}\sim \chi _{k-1}^{2}}$

其中均值

${\displaystyle {\bar {Z}}={\frac {1}{k}}\sum _{i=1}^{k}Z_{i}}$

它的平方正比於自由度為1的卡方分佈，即

${\displaystyle n{\bar {Z}}^{2}\sim \chi _{1}^{2}}$

卡方分佈表

p-value = 1- p_CDF.

χ2越大，p-value越小，則可信度越高。通常用p=0.05作為閾值，即95%的可信度。

常用的χ2與p-value表如下:

自由度k \ P value （機率）	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.64	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.60	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.82	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.86	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59