雙線性映射

在數學中，一個雙線性映射是由兩個向量空間上的元素，生成第三個向量空間上一個元素之函數，並且該函數對每個參數都是線性的。例如矩陣乘法就是一個例子。

定義

設${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$和${\displaystyle X}$是在同一個基礎域${\displaystyle F}$上的三個向量空間。雙線性映射是函數

${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$

使得對於任何${\displaystyle W}$中${\displaystyle w}$，映射

${\displaystyle v\mapsto B\left(v,w\right)}$

是從${\displaystyle V}$到${\displaystyle X}$的線性映射，並且對於任何${\displaystyle V}$中的${\displaystyle v}$，映射

${\displaystyle w\mapsto B(v,w)}$

是從${\displaystyle W}$到${\displaystyle X}$的線性映射。

換句話說，如果保持雙線性映射的第一個參數固定，並留下第二個參數可變，結果就是線性算子，如果保持第二個參數固定也是類似的。

如果${\displaystyle V=W}$並且有${\displaystyle B\left(v,w\right)=B\left(w,v\right)}$對於所有${\displaystyle V}$中的${\displaystyle v,w}$，則我們稱${\displaystyle B}$是對稱的。

當這裏的${\displaystyle X}$是${\displaystyle F}$的時候，我們稱之為雙線性形式，它特別有用(參見例子純量積、內積和二次形式)。

如果使用在交換環${\displaystyle R}$上的模替代向量空間，定義不需要任何改變。還可容易的推廣到${\displaystyle n}$元函數，這裏正確的術語是「多線性」。

對非交換基礎環${\displaystyle R}$和右模${\displaystyle M_{R}}$與左模${\displaystyle _{R}N}$的情況，我們可以定義雙線性映射${\displaystyle B:M\times N\rightarrow T}$，這裏的${\displaystyle T}$是阿貝爾環，使得對於任何${\displaystyle N}$中的${\displaystyle n,m\mapsto B\left(m,n\right)}$是群同態，而對於任何${\displaystyle M}$中的${\displaystyle m,n\mapsto B\left(m,n\right)}$是群同態，並還滿足

${\displaystyle B\left(mt,n\right)=B\left(m,tn\right)}$

對於所有的${\displaystyle M}$中的${\displaystyle m}$，${\displaystyle N}$中${\displaystyle n}$和${\displaystyle R}$中的${\displaystyle t}$。

定義${\displaystyle V}$, ${\displaystyle W}$,${\displaystyle X}$是有限維的，則${\displaystyle L\left(V,W;X\right)}$也是有限維的。對於${\displaystyle X=F}$就是雙線性形式，這個空間的維度是${\displaystyle \dim V\times \dim W}$（儘管線性形式的空間${\displaystyle L\left(V\times W;K\right)}$的維度是${\displaystyle \dim V+\dim W}$）。看得出來，選擇${\displaystyle V}$和${\displaystyle W}$的基；接着每個線性映射可以唯一的表示為矩陣${\displaystyle B(e_{i},f_{j})}$，反之亦然。現在，如果${\displaystyle X}$是更高維的空間，我們明顯的有${\displaystyle \dim L\left(V,W;X\right)=\dim V\times \dim W\times \dim X}$。

例子

• 矩陣乘法是雙線性映射${\displaystyle M(m,n)\times M(n,p)\rightarrow M(m,p)}$。
• 如果在實數${\displaystyle \mathbb {R} }$上的向量空間${\displaystyle V}$承載了內積，則內積是雙線性映射${\displaystyle V\times V\rightarrow \mathbb {R} }$。
• 一般的說，對於在域${\displaystyle F}$上的向量空間${\displaystyle V}$，在${\displaystyle V}$上的雙線性形式同於雙線性映射${\displaystyle V\times V\rightarrow F}$。
• 如果${\displaystyle V}$是有對偶空間${\displaystyle V^{*}}$的向量空間，則應用算子${\displaystyle b(f,v)=f(v)}$是從${\displaystyle V^{*}\times V}$到基礎域的雙線性映射。
• 設${\displaystyle V}$和${\displaystyle W}$是在同一個基礎域${\displaystyle F}$上的向量空間。如果${\displaystyle f}$是${\displaystyle V^{*}}$的成員而${\displaystyle g}$是${\displaystyle W^{*}}$的成員，則${\displaystyle b(v,w)=f(v)g(w)}$定義雙線性映射${\displaystyle V\times W\rightarrow F}$。
• 在${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$中叉積是雙線性映射${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\rightarrow \mathbb {R} ^{3}}$。
• 設${\displaystyle B:V\times W\rightarrow X}$是雙線性映射，而${\displaystyle L:U\rightarrow W}$是線性算子，則${\displaystyle (v,u)\rightarrow B(v,Lu)}$是在${\displaystyle V\times U}$上的雙線性映射。
• 零映射，定義於${\displaystyle B(v,w)=o}$對於所有${\displaystyle V\times W}$中的${\displaystyle (v,w)}$，是從${\displaystyle V\times W}$到${\displaystyle X}$的同時為雙線性映射和線性映射的唯一映射。實際上，如果${\displaystyle (v,w)\in V\times W}$，則${\displaystyle B(v,w)=B(v,o)+B(o,w)=o+o}$。

參見

• 張量積
• 多線性映射
• 半雙線性形式
• 雙線性濾波