向心力

向心力是當物體沿着圓周或者曲線軌道運動時，指向圓心（曲率中心）的合外力作用力。「向心力」一詞是從這種合外力作用所產生的效果而命名的。這種效果可以由彈力、重力、摩擦力等任何一力而產生，也可以由幾個力的合力或其分力提供。

因為圓周運動屬於曲線運動，在做圓周運動中的物體也同時會受到與其速度方向不同的合外力作用。對於在做圓周運動的物體，向心力是一種拉力，其方向隨着物體在圓周軌道上的運動而不停改變。此拉力沿着圓周半徑指向圓周的中心，所以得名「向心力」。向心力指向圓周中心，且被向心力所控制的物體是沿着切線的方向運動，所以向心力必與受控物體的運動方向垂直，僅產生速度法線方向上的加速度。因此向心力只改變所控物體的運動方向，而不改變運動的速率，即使在非勻速圓周運動中也是如此。非勻速圓周運動中，改變運動速率的切向加速度並非由向心力產生。

向心力的大小與物體的質量（m）、物體運動圓周半徑的長度（r）和角速度（ω）有着密切關係。

公式(代數證法)

1. 一物體要做勻速圓周運動所需要的向心力大小為:

${\displaystyle F=m\omega ^{2}r}$

2. 欲知向心力與線速度大小的關係,可以將${\displaystyle \omega ={\frac {v}{r}}}$代入${\displaystyle F=m\omega ^{2}r}$,也就是物體的線速度與其角速度的關係:

${\displaystyle F=m\omega ^{2}r}$

${\displaystyle F=m{\frac {v^{2}}{r}}}$

定義：做勻速圓周運動的物體受到指向圓心的合外力作用，這個合外力叫做向心力。

方向：向心力的方向時刻指向圓心。做勻速圓周運動的物體具有向心加速度，根據牛頓第二定律，這個加速度一定是由於它受到了指向圓心的合外力。

公式：根據牛頓第二定律F合=ma，把向心加速度的公式代入可得：

${\displaystyle \mathbf {F_{c}} =-{\frac {mv^{2}}{r}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {mv^{2}}{r}}{\frac {\mathbf {r} }{r}}=-m\omega ^{2}\mathbf {r} =m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}})}$

• 註：${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$表示${\displaystyle \mathbf {r} }$方向的單位向量。

3. 因此由上方的公式表述，從牛頓定律的帶入可得知，

向心加速度為 ${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}=\omega ^{2}r}$

向心加速度之推導(畢氏三角證法)

向心加速度指示圖

設 ${\displaystyle \mathbf {R} }$ = ${\displaystyle {\boldsymbol {r+d}}}$(半徑加上物體瞬間之掉落距離) 所以 ${\displaystyle \mathbf {d} }$ = ${\displaystyle {\boldsymbol {R-r}}}$ 由於 ${\displaystyle \mathbf {d} }$ = ${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\boldsymbol {a\Delta t^{2}}}}$; 則 ${\displaystyle \mathbf {a} }$= ${\displaystyle \left({\frac {2d}{\Delta t^{2}}}\right)}$

從畢氏定理知道 ${\displaystyle {\boldsymbol {R^{2}=r^{2}+D^{2}}}}$， 推得${\displaystyle \mathbf {d} ={\sqrt {r^{2}+D^{2}}}-r}$

且定${\displaystyle \mathbf {D} }$ = ${\displaystyle \mathbf {v\Delta t} }$

而在瞬間的情況之下之向心加速度：

${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2d}{\Delta t^{2}}}}$

把已知${\displaystyle {\boldsymbol {d}}}$ 代入,${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2({\sqrt {r^{2}+D^{2}}}-r)}{\Delta t^{2}}}}$

再把 ${\displaystyle {\boldsymbol {D=v\Delta t}}}$ 代入,

${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2({\sqrt {r^{2}+(v\Delta t)^{2}}}-r)}{\Delta t^{2}}}}$

分子、分母同乘${\displaystyle ({\sqrt {r^{2}+v^{2}\Delta t^{2}}}+r)}$ 用以去根號， ${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2(r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})-r^{2})}{\Delta t^{2}({\sqrt {r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})}}+r)}}}$

此時 ${\displaystyle {\boldsymbol {r^{2}}}}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {r^{2}}}}$ 相抵銷， ${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2(v^{2})(\Delta t^{2})}{\Delta t^{2}({\sqrt {r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})}}+r)}}}$

此時 ${\displaystyle {\boldsymbol {t^{2}}}}$ 和 ${\displaystyle {\boldsymbol {t^{2}}}}$ 上下相抵銷為 ${\displaystyle {\boldsymbol {1}}}$， ${\displaystyle a=\lim _{\Delta t\to 0}{\frac {2(v^{2})}{{\sqrt {r^{2}+(v^{2})(\Delta t^{2})}}+r}}}$

${\displaystyle a={\frac {2(v^{2})}{{\sqrt {r^{2}}}+r}}}$

${\displaystyle a={\frac {2(v^{2})}{2r}}}$

因此 ${\displaystyle a={\frac {v^{2}}{r}}}$

外部連結

• 甚麼是向心力？甚麼是離心力？（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）