友誼數

在數論中，友誼數是指二個正整數m和n滿足σ(m)/m = σ(n)/n的關係，其中σ(n)是因數函數，則稱它們是朋友，此二個整數互為友誼數。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40，因此80和200都是友誼數。

友誼數為傳遞關係，若m和n為友誼數，n和p為友誼數，則m和p必為友誼數。

所有的已知的友誼數有6, 12, 24, 28, 30, ...（ A074902，按σ(n)/n相同的組對排列： A050973、 A050973）

確定不是友誼數的數即為孤獨數。但有些數尚未能證明它是否為孤獨數，例如10。

範例

另一個例子：30和140形成友誼數的一對，因為30和140滿足以下的等式^[1] ${\displaystyle {\dfrac {\sigma (30)}{30}}={\dfrac {1+2+3+5+6+10+15+30}{30}}={\dfrac {72}{30}}={\dfrac {12}{5}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\sigma (140)}{140}}={\dfrac {1+2+4+5+7+10+14+20+28+35+70+140}{140}}={\dfrac {336}{140}}={\dfrac {12}{5}}.}$。

數字2480、6200、40640也是該俱樂部成員，因為它們各自的豐度等於12/5。

作為奇數的友誼數，請考慮135和819（友誼數比例16/9），也有一奇一偶的友誼數，例如：42和544635（友誼數比例16/7），奇數的朋友也可能小於偶數，例如：84729645和155315394（友誼數比例896/351）或6517665、14705145、1119251474478和2746713837618（友誼數比例64/27）。

平方數可以是友誼數，例如：693479556（26334的平方）和8640、52416的友誼數比例都是127/36，立方數也可以是友誼數，例如：3375（15的立方）和6975的友誼數比例都是416/225。

較小整數的狀況

在下表中，藍色背景數字證明是友誼數，紅色背景數字證明是孤獨數，如果n和σ(n)互質則不標顏色，其他未知狀況用黃色背景數字標示。

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
1	1	1
2	3	3/2
3	4	4/3
4	7	7/4
5	6	6/5
6	12	2
7	8	8/7
8	15	15/8
9	13	13/9
10	18	9/5
11	12	12/11
12	28	7/3
13	14	14/13
14	24	12/7
15	24	8/5
16	31	31/16
17	18	18/17
18	39	13/6
19	20	20/19
20	42	21/10
21	32	32/21
22	36	18/11
23	24	24/23
24	60	5/2
25	31	31/25
26	42	21/13
27	40	40/27
28	56	2
29	30	30/29
30	72	12/5
31	32	32/31
32	63	63/32
33	48	16/11
34	54	27/17
35	48	48/35
36	91	91/36

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
37	38	38/37
38	60	30/19
39	56	56/39
40	90	9/4
41	42	42/41
42	96	16/7
43	44	44/43
44	84	21/11
45	78	26/15
46	72	36/23
47	48	48/47
48	124	31/12
49	57	57/49
50	93	93/50
51	72	24/17
52	98	49/26
53	54	54/53
54	120	20/9
55	72	72/55
56	120	15/7
57	80	80/57
58	90	45/29
59	60	60/59
60	168	14/5
61	62	62/61
62	96	48/31
63	104	104/63
64	127	127/64
65	84	84/65
66	144	24/11
67	68	68/67
68	126	63/34
69	96	32/23
70	144	72/35
71	72	72/71
72	195	65/24

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
73	74	74/73
74	114	57/37
75	124	124/75
76	140	35/19
77	96	96/77
78	168	28/13
79	80	80/79
80	186	93/40
81	121	121/81
82	126	63/41
83	84	84/83
84	224	8/3
85	108	108/85
86	132	66/43
87	120	40/29
88	180	45/22
89	90	90/89
90	234	13/5
91	112	16/13
92	168	42/23
93	128	128/93
94	144	72/47
95	120	24/19
96	252	21/8
97	98	98/97
98	171	171/98
99	156	52/33
100	217	217/100
101	102	102/101
102	216	36/17
103	104	104/103
104	210	105/52
105	192	64/35
106	162	81/53
107	108	108/107
108	280	70/27

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
109	110	110/109
110	216	108/55
111	152	152/111
112	248	31/14
113	114	114/113
114	240	40/19
115	144	144/115
116	210	105/58
117	182	14/9
118	180	90/59
119	144	144/119
120	360	3
121	133	133/121
122	186	93/61
123	168	56/41
124	224	56/31
125	156	156/125
126	312	52/21
127	128	128/127
128	255	255/128
129	176	176/129
130	252	126/65
131	132	132/131
132	336	28/11
133	160	160/133
134	204	102/67
135	240	16/9
136	270	135/68
137	138	138/137
138	288	48/23
139	140	140/139
140	336	12/5
141	192	64/47
142	216	108/71
143	168	168/143
144	403	403/144

${\displaystyle n}$	${\displaystyle \sigma (n)}$	${\displaystyle {\frac {\sigma (n)}{n}}}$
145	180	36/29
146	222	111/73
147	228	76/49
148	266	133/74
149	150	150/149
150	372	62/25
151	152	152/151
152	300	75/38
153	234	26/17
154	288	144/77
155	192	192/155
156	392	98/39
157	158	158/157
158	240	120/79
159	216	72/53
160	378	189/80
161	192	192/161
162	363	121/54
163	164	164/163
164	294	147/82
165	288	96/55
166	252	126/83
167	168	168/167
168	480	20/7
169	183	183/169
170	324	162/85
171	260	260/171
172	308	77/43
173	174	174/173
174	360	60/29
175	248	248/175
176	372	93/44
177	240	80/59
178	270	135/89
179	180	180/179
180	546	91/30

大的友誼數群

若三個或三個以上的正整數，其因數函數除以自身的比值相等，則這些正整數形成友誼數群（friendly number club）。換言之，友誼數群是友誼數關係的等價類。目前還不知道是否有由無限多個正整數組成的友誼數群。完全數的因數函數為自身的2倍，因此所有完全數形成一個友誼數群，推測應該會有無限多個完全數（至少會和梅森質數的個數一樣多），但尚未被證明。

孤獨數

不與其他數組成友誼數對的正整數稱為孤獨數（solitary number）。

所有滿足( n, σ(n) ) = 1的n（ A014567）都是孤獨數，因此所有質數冪都是孤獨數。n, σ(n)非互質的孤獨數已知有18, 45, 48, ... （ A095739）。10, 14, 15, 20等數未能證明它是否孤獨數。