射影微分幾何

在數學領域中，射影微分幾何研究的是在射影群變換下保持不變的數學對象（如函數、微分同胚和子流形）的性質。它融合了黎曼幾何中探究不變性的思路，以及埃爾朗根綱領中通過群對稱性來刻畫幾何學的理念。

自約1890年起的一代人時間裏，許多數學家對該領域進行了深入研究（包括讓·加斯東·達布、George Henri Halphen、Ernest Julius Wilczynski、E. Bompiani、圭多·富比尼和愛德華·切赫等），但尚未形成一套關於微分不變量的完整理論。

埃利·嘉當在其活動標架法中提出了一般射影聯絡（general projective connection）的概念。從抽象角度來看，這是埃爾朗根綱領能與微分幾何相協調的普遍性層面；它也發展了射影微分幾何最古老的一部分理論——即針對射影直線（projective line）的施瓦茨導數（Schwarzian derivative），這也是最簡單的射影微分不變量^[1]。

從1930年代起，J. Kanitani、陳省身、A. P. Norden、G. Bol、S. P. Finikov和G. F. Laptev等人又開展了進一步的工作。然而，即使是關於曲線密切（osculation，一個明顯的射影不變量主題）的基本結果，至今也缺乏一個全面的理論。

射影微分幾何的理念在數學及其應用中會反覆出現，但其表述方式仍然深深植根於20世紀早期的語言體系之中。