希爾伯特第十六問題

希爾伯特第十六問題，是希爾伯特的23個問題之一。它分成兩個部份：

• 實代數曲線與曲面的拓撲結構

哈納克在1876年證明了一個平面上${\displaystyle n}$次實代數曲線最多有${\displaystyle {\frac {n^{2}-3n+4}{2}}}$個分支。希爾伯特提議研究這些分支之間的拓撲性質，並將哈納克的估計推廣到空間裏的實代數曲面。

• 極限環的拓撲結構

給定二元${\displaystyle n}$次實多項式${\displaystyle P(x,y),Q(x,y)}$，考慮下述平面上的動力系統

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\dfrac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}&=P(x,y)\\{\dfrac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}&=Q(x,y)\end{array}}\right.}$

希爾伯特提議研究其極限環的最大數目及其拓撲。

總而言之，此問題意在研究由實多項式定義出的拓撲結構。在第一部份，我們考慮實多項式的零點；在第二部份，我們考慮實多項式定義的向量場及其積分曲線。

進展

希爾伯特第十六問題在1950年代末由蘇聯科學院院士伊萬·彼得羅夫斯基與葉夫根尼·蘭迪斯解決。但隨後他們的證明被證明存在漏洞。1980年，中國科學技術大學研究生史松齡，南京大學陳蘭蓀、王明淑分別獨立舉出反例，徹底推翻了二人的證明^[1][2]。因此第十六問題至今仍未解決。

文獻

• Yu. Il'yashenko, Finiteness theorems for limit cycles , Amer. Math. Soc.（1991）
• Yu. Ilyashenko, S. Yakovenko（ed.）, Concerning the Hilbert 16th problem（1995）, Amer. Math. Soc.
• Shi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems, Sci. Sinica, 23 (1980), 153-158.
• Lan Sun Chen, Ming Shu Wang, The relative position, and the number, of limit cycles of a quadratic differential system, Acta Math. Sinica, 22 (1979), 751–758.