帕斯卡定理

帕斯卡定理指圓錐曲線的內接六邊形其三條對邊的交點共線。它與布列安桑定理對偶，是帕普斯定理的推廣。（當這個圓錐曲線退化成兩條直線時，帕斯卡定理就會變成帕普斯定理）

該定理由法國數學家布萊士·帕斯卡於16歲時提出但並未證明，是射影幾何中的一個重要定理。

證明

圓

如圖，如果圓錐曲線是一圓，圓內接六邊形ABCDEF的邊AB、DE的延長線交於點G，邊BC、EF的延長線交於點H，邊CD、FA的延長線交於點K。

延長AB、CD、EF，分別交直線CD、EF、AB於M、N、L三點，構成△LMN。

利用梅涅勞斯定理：

直線BC截LM、MN、NL於B、C、H三點，則${\displaystyle {\frac {LB}{MB}}\cdot {\frac {MC}{NC}}\cdot {\frac {NH}{LH}}=1}$…①

直線DE截LM、MN、NL於G、D、E三點，則${\displaystyle {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MD}{ND}}\cdot {\frac {NE}{LE}}=1}$…②

直線AF截LM、MN、NL於A、K、F三點，則${\displaystyle {\frac {LA}{MA}}\cdot {\frac {MK}{NK}}\cdot {\frac {NF}{LF}}=1}$…③

連BE，則${\displaystyle {\frac {LE}{LB}}\cdot {\frac {LF}{LA}}=1}$…④。同理${\displaystyle {\frac {MA}{MD}}\cdot {\frac {MB}{MC}}=1}$…⑤，${\displaystyle {\frac {NC}{NF}}\cdot {\frac {ND}{NE}}=1}$…⑥。

將①②③④⑤⑥相乘，得${\displaystyle {\frac {NH}{LH}}\cdot {\frac {LG}{MG}}\cdot {\frac {MK}{NK}}=1}$。

∵點H、G、K在△LMN的邊LN、LM、MN的延長線上，∴H、G、K三點共線。

其餘圓錐曲線

任何非退化圓錐曲線皆可經由投影變換投影成圓，故帕斯卡定理於其他圓錐曲線亦成立。

參見

• 布列安桑定理
• 帕普斯定理
• 笛沙格定理