幾何化單位制

幾何化單位制（geometrized unit system），不是一種完全定義或唯一的單位制。在這單位制內，會規定光速與重力常數為1，即${\displaystyle c=G=1}$ 。這樣留出足夠空間來規定其它常數，像波茲曼常數或庫侖定律：

${\displaystyle k_{B}=1}$、

${\displaystyle {\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}=1}$。

假若把普朗克常數也規定為 ${\displaystyle \hbar =1}$，則幾何化單位制與普朗克單位制完全相同。

另外，我們也可以不定義庫侖常數為1，而改去定義更自然的電常數${\displaystyle \epsilon _{0}}$為1，此時，庫侖常數就會變成${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}$，這是比較自然的有理化幾何單位制，如果是定義庫侖常數為1，則會是非理化的幾何單位制。（我們通常會選擇比較自然的常數定義為1，例如我們不會把原始的普朗克常數${\displaystyle h}$定義為1，而是會把約化普朗克常數${\displaystyle \hbar }$定義為1，因為約化普朗克常數比較自然）

相對論中的幾何化單位制

物理量	表達式	公制數值
長度 (L)	${\displaystyle l={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{3}}}}}$	5.72947 × 10-35 m
質量 (M)	${\displaystyle m={\sqrt {\frac {\hbar c}{4\pi G}}}}$	6.13962 × 10-9 kg
時間 (T)	${\displaystyle t={\sqrt {\frac {4\pi \hbar G}{c^{5}}}}}$	1.91114 × 10-43 s
電荷 (Q)	${\displaystyle q={\sqrt {\hbar c\epsilon _{0}}}}$	5.29082 × 10-19 C
溫度 (Θ)	${\displaystyle T={\sqrt {\frac {\hbar c^{5}}{4\pi Gk_{B}^{2}}}}}$	3.99668 × 1031 K

在廣義相對論中，${\displaystyle G}$經常會與${\displaystyle 4\pi }$合併，故此時的幾何單位制定義為：

${\displaystyle c=4\pi G=\hbar =\epsilon _{0}=\mu _{0}=Z_{0}=k_{B}=1}$

${\displaystyle e={\sqrt {4\pi \alpha }}}$

注意此時的萬有引力常數與庫侖常數的值相同，都是${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}}$。

單位換算

	m	kg	s	C	K
m	1	c2/G [kg/m]	1/c [s/m]	c2/(G/(4πε0))1/2 [C/m]	c4/(GkB) [K/m]
kg	G/c2 [m/kg]	1	G/c3 [s/kg]	(G 4πε0)1/2 [C/kg]	c2/kB [K/kg]
s	c [m/s]	c3/G [kg/s]	1	c3/(G/(4πε0))1/2 [C/s]	c5/(GkB) [K/s]
C	(G/(4πε0))1/2/c2 [m/C]	1/(G 4πε0)1/2 [kg/C]	(G/(4πε0))1/2/c3 [s/C]	1	c2/(kB(G 4πε0)1/2) [K/C]
K	GkB/c4 [m/K]	kB/c2 [kg/K]	GkB/c5 [s/K]	kB(G 4πε0)1/2/c2 [C/K]	1

參考文獻

• Wald, Robert M. (1984). General Relativity. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-87033-2. Appendix F

參閱

• 普朗克單位制