扇形

扇形（Circular sector）指圓上被兩條半徑和半徑所截之一段弧所圍成的圖形。因形狀如一把扇子而得名。圓形不是一種扇形。

綠色所示的區域便是一個扇形。

弧長

扇形的弧長∝圓心角。

• ${\displaystyle L=\theta r}$（弧度制）
• ${\displaystyle L=2\pi r\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}}$（角度制）

面積

扇形的面積∝圓心角：

• ${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}$（弧度制）
• ${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {\theta }{360^{\circ }}}}$（角度制）

扇形的面積∝弧長：

• ${\displaystyle A=\pi r^{2}\cdot {\frac {L}{2\pi r}}={\frac {rL}{2}}}$

扇形面積的積分形式：

• ${\displaystyle {\displaystyle A=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}dS=\int _{0}^{\theta }\int _{0}^{r}{\tilde {r}}\,d{\tilde {r}}\,d{\tilde {\theta }}=\int _{0}^{\theta }{\frac {1}{2}}r^{2}\,d{\tilde {\theta }}={\frac {r^{2}\theta }{2}}}}$（弧度制）

周長

扇形的周長由弧長和兩個半徑組成：

• ${\displaystyle P=L+2r=\theta r+2r=r(\theta +2)}$（弧度制）

弦長

• ${\displaystyle C=2r\ sin{\frac {\theta }{2}}}$（弧度制）

附加性質

• 圓錐的側面展開圖是扇形。
• 弓形指扇形割去或補上由弦和兩條半徑所組成的三角形的部分。

參見

• 弓形
• 圓錐曲線
• 弧度制

參考來源

• Gerard, L. J. V. The Elements of Geometry, in Eight Books; or, First Step in Applied Logic, London, Longman's Green, Reader & Dyer, 1874. p. 285

外部連結

• Definition and properties of a circle sector with interactive animation
• 埃里克·韋斯坦因. Circular sector. MathWorld.