施拉姆-勒夫納演進

在概率論中，施拉姆-勒夫納演變（Schramm–Loewner evolution，SLE）是一個平面曲線的家族以及統計力學模型的縮放極限。

應用

• Uniform spanning tree, Loop erased random walk（英語：Loop erased random walk）
• 自避行走
• 普遍性 (物理學)
• 施拉姆-勒夫納進化描述臨界滲流，臨界易辛模型，自避行走的縮放極限
• 統計力學模型
• 因為SLE有馬爾可夫性質，所以可以用伊藤微積分來分析一下
• 共形場論

勒夫納演變

• D 是單連通的開集。D是複雜域，但是不等於C。
• γ 是D中的一條曲線。γ 在D 的邊界開始。
• ${\displaystyle D_{t}=D-\gamma ([0,t])}$
• 因為${\displaystyle D_{t}}$是單連通的，它通過共形映射等於D（黎曼映射理論）。
• ${\displaystyle f:D_{t}\to D}$是同構。
• ${\displaystyle g(f(z))=z}$是反函數。
• 在t = 0，f₀(z) = z 和 g₀(z) = z。
• ζ(t)是驅動函數（driving function），接受D邊界上的值。

根據Loewner (1923，p. 121)，Loewner方程（英語：Loewner differential equation）是

${\displaystyle {\frac {\partial f_{t}(z)}{\partial t}}=-zf_{t}^{\prime }(z){\frac {\zeta (t)+z}{\zeta (t)-z}}}$

${\displaystyle {\dfrac {\partial g_{t}(z)}{\partial t}}=g_{t}(z){\dfrac {\zeta (t)+g_{t}(z)}{\zeta (t)-g_{t}(z)}}.}$

${\displaystyle \zeta ,\gamma }$的關係是

${\displaystyle f_{t}(\zeta (t))=\gamma (t){\text{ 或 }}\ \zeta (t)=g_{t}(\gamma (t))}$

施拉姆-勒夫納演變

SL演變是一個勒夫納方程，有下面的驅動函數

${\displaystyle \zeta (t)={\sqrt {\kappa }}B(t)}$

其中 B(t) 是D邊界上的布朗運動。

例如

• 若0 ≤ κ ≤ 4，曲線γ(t)幾乎必然是簡單曲線
• 若4 < κ < 8，γ(t) 與自身相交。
• 若 κ ≥ 8，γ(t)是space-filling的。
• 若κ = 2，曲線是Loop-erased random walk。^[1][2]
• κ = 8：皮亞諾曲線
• 若 κ = 8/3，有人猜想這個SLE描述自避行走。
• κ = 3：易辛模型邊界的極限
• κ = 4：高斯自由場，harmonic explorer (2005) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFharmonic_explorer2005 (幫助),^[3]
• κ = 6：斯坦尼斯拉·斯米爾諾夫證明SLE₆ 是格子（正三角形鑲嵌）上的臨界滲透的縮放極限^[4][5]，計算臨界指數^[6][7][8]；證明滲流的共形不變性Smirnov (2001) harvtxt模板錯誤: 多個指向目標 (2個): CITEREFSmirnov2001 (幫助)^[9]，Cardy方程
• κ = 8：path separating UST from dual tree

屬性

若SLE描述共形場論，central charge c等於

${\displaystyle c={\frac {(8-3\kappa )(\kappa -6)}{2\kappa }}.}$

Beffara (2008) 表明了SLE的豪斯多夫維數是min(2, 1 + κ/8)。

Lawler, Schramm & Werner (2001) 用SLE₆ 證明Mandelbrot (1982)的猜想：平面布朗運動邊界的分形維數是4/3。

Rohde和Schramm表明了曲線的分形維數是

${\displaystyle d=1+{\frac {\kappa }{8}}.}$

模擬

https://github.com/xsources/Matlab-simulation-of-Schramm-Loewner-Evolution（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）