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柯西-施瓦茨不等式
在許多不同的設置中遇到的有用的不等式,例如線性代數,分析,概率論,向量代數和其他領域。 它被認為是所有數學中最重要的不等式之一 来自维基百科,自由的百科全书
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柯西-施瓦茨不等式(英語:Cauchy–Schwarz inequality),又稱施瓦茨不等式或柯西-布尼亞科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式,在多個數學領域中均有應用的不等式;例如線性代數的矢量,數學分析的無窮級數和乘積的積分,和概率論的方差和協方差。它被認為是最重要的數學不等式之一。它有一些推廣,如赫爾德不等式。
不等式以奧古斯丁-路易·柯西,赫爾曼·施瓦茨,和維克托·布尼亞科夫斯基命名。
敍述
是個複內積空間,則對所有的 有:
- (a)
- (b) 存在 使
證明請見內積空間#柯西-施瓦茨不等式。
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特例
這樣根據一般內積空間的柯西不等式就可以得証,也可以如下依據實數的性質直接證明
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維複數空間事實上是個定義在域(也就是純量母空間)上的複係數內積空間,只要對任意定義如下的內積函數:
這樣根據一般內積空間的柯西不等式就有:
直接以複數性質證明的方法與一般內積空間的證明方法雷同:
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一般線性代數的書籍習慣將複數版本的柯西不等式以矩陣表示,換句話說,取:
這樣的話,複數版本的柯西不等式可以重寫為:
(注意到矩陣乘法偷懶地把只有一個元素的矩陣視為那個元素本身)
但這並沒有產生任何新的性質。而等號成立地條件也只是換種說法,說成是與線性相關。
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- 。
- 原不等式可以增強至拉格朗日恆等式
- 。
- 這是
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同名的定理
是個複內積空間,如果,,如果對所有 都有,稱是的一個正定算子(positive operator)。
類似的,如果對所有 都有,稱是的一個對稱算子(symmetric operator)。
如果是複內積空間的一個正定對稱算子,則對於任意有:
考慮到對稱算子在有有限基底的向量空間中都可以唯一的表示成某個埃爾米特矩陣,一般線性代數的書籍習慣以如下的形式表示:
正定算子對應的矩陣正好就是要求對應矩陣的元素都必須,所以正定對稱算子對應的就是對稱且非負的矩陣,據此上式可以進一步簡寫為:
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設 在區域及其邊界上解析, 為內一點,以為圓心做圓周 ,只要及其內部均被包含,則有:
其中,M是的最大值, 。
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其它推廣
若,則[4]
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參見
註釋
參考資料
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