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無界算子
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在數學中, 特別是泛函分析與算符理論, 無界算子的概念提供了用於處理微分算符, 量子力學中無界可觀測量等的一個抽象框架.
![]() | 此條目需要精通或熟悉相關主題的編者參與及協助編輯。 (2014年3月29日) |
無界算子的名稱具有一定的誤導性,這是因為
- 「無界」有時可以被理解為 "無需有界",或者說 "不一定有界";
- 「算符」當被理解為「線性算符」(這和「有界算子」是相同的);
- 算符的定義域為線性子空間, 不必為全空間;
- 線性子空間不必有界; 一般被假定為稠密;
- 特殊情況下的有界算子,定義域被假定為全空間
不同於有界算子, 給定空間上的無界算子不構成代數,甚至不構成線性空間,這是因為每一個無界算子有各自的定義域。
「算子」通常指「有界線性算子」,但在以下內容中默認指「無界算子」。給定空間默認為希爾伯特空間,但可以擴展到巴拿赫空間與更有普遍性的拓撲矢量空間。
歷史簡述
無界算子理論誕生於20世紀20年代晚期以及30年代早期,作為量子力學嚴格數學框架的一部分而得到發展.[1] 約翰·馮·諾伊曼[2]以及Marshall Stone[3]爲理論發展的主要貢獻者。馮·諾伊曼在1936年利用圖對無界算符進行分析.[4]
定義與基本性質
令 B1 與 B2 為 巴拿赫空間. 無界算子 (或簡稱為算子) T : B1 → B2是一個線性映射 T, 從B1 的線性子空間D(T) (T的定義域)映射到空間 B2.[5] 不同於慣例, T 可能不定義在整個空間B1.
如果函數圖 Γ(T) 為一個閉集,算子T被稱為閉算子.[6] (這裏,圖 Γ(T) 是直和B1 ⊕ B2的一個線性子空間,定義為所以對(x, Tx)的集合, x定義在T上). 這意味着,對所有來自域T的點列(xn),xn收斂到x, Txn 收斂到y, x在域T上成立,且 Tx = y.[6] 有界性可以通過圖模描述: 算符 T 是有界的, 若且唯若它的定義域 D(T) 是關於下面的模的完備空間:[7]
如果在B1上定義域稠密,算子 T被稠密定義。這同樣包括定義在整個 B1 上的算子, 因為整個空間本身稠密。 定義域的稠密是轉置與伴隨函數存在的充分必要條件。
若T : B1 → B2為閉集, 在它的定義域上稠密且連續, 則它定義在B1上.[8]
如果 T + a 是實數 a的正算符,希爾伯特空間 H 上稠密定義的算符 T被稱作下有界. 即,對所有T域上的x來說,⟨Tx|x⟩ ≥ −a·||x||2 .[9] 如果 T 與 (–T) 都是下有界的,T有界.[9]
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參考資料
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