無窮遞降法

無窮遞降法，又名無窮遞減法（英語：Proof by infinite descent），是數學中證明方程無解的一種方法。

步驟

• 假設方程有解，並設X為最小的解。
• 從X推出一個更小的解Y。
• 從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無解。

一些實用的例子

a²+b²=3(s²+t²)無非平方解

證明下列方程無正整數解:

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=3\cdot (s^{2}+t^{2}),\,}$

證明:

假設該方程有正整數解。

設${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$為最小的解。即

${\displaystyle a_{1}^{2}+b_{1}^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$

顯然，${\displaystyle a_{1}}$和${\displaystyle b_{1}}$都必須能被3整除。設

${\displaystyle 3a_{2}=a_{1}\,}$及${\displaystyle 3b_{2}=b_{1}.\,}$

我們得到

${\displaystyle (3a_{2})^{2}+(3b_{2})^{2}=3\cdot (s_{1}^{2}+t_{1}^{2})}$

${\displaystyle 3(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})=s_{1}^{2}+t_{1}^{2}.\,}$

這是更小的解，與${\displaystyle a_{1},b_{1},s_{1},t_{1}}$的最小性相矛盾。所以，原方程無正整數解。

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$的無理性

主條目：2的算術平方根

假設${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是有理數，即${\displaystyle p^{2}=2q^{2}}$有正整數解。
令${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解
易知${\displaystyle p}$是偶數，從得${\displaystyle q}$是偶數
⇒${\displaystyle (p/2,q/2)<(p,q)}$
和${\displaystyle (p,q)}$是此方程的最小解矛盾，故無正整數解
⇒從得${\displaystyle {\sqrt {2}}}$是無理數

參見

• 韋達跳躍
• 反證法