有界函數

在數學中，如果在某個集合${\displaystyle X}$上定義的具有實數或複數值的某個函數${\displaystyle f}$的值域是有界集合，則函數${\displaystyle f}$被稱為有界的（或有界函數）。換句話說，存在實數${\displaystyle M>0}$，使得對於集合${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle |f(x)|\leq M}$。有時，如果對於集合${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)\leq A}$，則函數${\displaystyle f}$稱為上有界的，${\displaystyle A}$就是它的一個上界；如果對於集合${\displaystyle X}$中的所有${\displaystyle x}$，都有${\displaystyle f(x)\geq B}$，則函數稱為下有界的，${\displaystyle B}$就是它的一個下界。

有界函數（紅色）和無界函數（藍色）的示意圖。可以看到，有界函數的圖形保持在（虛線）水平帶內，而無界函數的圖形不保持在水平帶內。

一個特例是有界數列，其中${\displaystyle X}$是所有自然數所組成的集合${\displaystyle \mathbb {N} }$。所以，一個數列${\displaystyle f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ 是有界的，如果存在一個數${\displaystyle M>0}$，使得對於所有的自然數${\displaystyle n}$，都有${\displaystyle \left\vert a_{n}\right\vert \leq M}$。

例子

• 由${\displaystyle f(x)=\sin x}$所定義的函數${\displaystyle f:R\rightarrow R}$是有界的。如果正弦函數是定義在所有複數的集合上，則不再是有界的。
• 函數${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}-1}}}$（${\displaystyle x}$不等於−1或1）是無界的。當${\displaystyle x}$越來越接近−1或1時，函數的值就變得越來越大。但是，如果把函數的定義域限制為${\displaystyle [2,\infty )}$，則函數就是有界的。

• 函數${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x^{2}+1}}}$是有界的。

• 任何一個連續函數${\displaystyle f:[0,1]\rightarrow R}$都是有界的。
• 狄利克雷函數：當${\displaystyle x}$是有理數時，函數的值是0，而當${\displaystyle x}$是無理數時，函數的值是1。這個函數是有界的。有界函數並不一定是連續的。

參見

• 有界集合
• 支撐集
• 一致有界