標準矩

在概率論和統計學中，一個概率分佈的標準矩是經過標準化後的主動差（通常是較高階的主動差）。標準化通常是將其除以標準差的過程，這樣做可以使得標準矩對縮放和離散程度皆能保持一致， 在比較不同概率分佈的形狀時更為方便。^[1]

定義

設X為一隨機變量，其概率密度函數為f、平均值為 ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ (一階原點矩)，則第k階標準矩為${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}\!}$，^[2] 其中${\displaystyle \mu _{k}}$是第k階主動差：

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \sigma ^{k}}$為標準差的k次方：

${\displaystyle \sigma ^{k}={\Bigl (}{\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}{\Bigr )}^{k}}$

以通式表示：

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{k}={\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{k/2}}}}$

性質

• 主動差為k次齊次函數：${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X)}$
• 標準矩具有縮放不變性。
• 由於上述標準矩的定義中將矩的因次消除了，因此標準矩為無因次量。

常用的標準矩

以下列出前4個標準矩：

階數 k	定義	說明
1	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}=0}$	一階標準矩恆為0， 因為一階主動差恆為0。
2	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1}$	二階標準矩恆為1， 因為二階主動差即為方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$。
3	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}}$	三階標準矩用於定義偏度。
4	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}}$	四階標準矩用於定義峰度。

參見

• 主動差
• 矩