歐拉函數 (複變函數)

在數學上，歐拉函數的定義如下

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})}$

複數平面上歐拉函數φ的絕對值，黑色部份的值為0，紅黑色部份的值為4

此函數得名由萊昂哈德·歐拉。歐拉函數是典型的q級數及模形式函數，也是描述組合數學及複分析之間關係的典型範例。

性質

歐拉函數的的倒數${\displaystyle 1/\phi (q)}$展開成形式冪級數，其對應的系數${\displaystyle p(k)}$恰好是k的分割函數，亦即

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}=\sum _{k=0}^{\infty }p(k)q^{k}}$

其中${\displaystyle p(k)}$為k的分割函數。

五邊形數定理是一個有關歐拉函數的恆等式，其定理如下：

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{(3n^{2}-n)/2}.}$

其中${\displaystyle (3n^{2}-n)/2}$為廣義五邊形數。

依拉馬努金恆等式（Ramanujan identity），歐拉函數和戴德金η函數有以下的關係：

${\displaystyle \phi (e^{2\pi i\tau })=e^{\pi i\tau /12}\eta (\tau )}$

上述二個函數都有模群（英語：modular group）下的對稱性。

歐拉函數可以用q階乘冪表示：

${\displaystyle \phi (q)=(q;q)_{\infty }.}$

歐拉函數的對數是其各乘項對數的和，每一項可以在q = 0處展開，得到

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\,{\frac {q^{n}}{1-q^{n}}},}$

是系數為-1/n朗伯級數（英語：Lambert series）。因此歐拉函數的對數可以表示為

${\displaystyle \ln(\phi (q))=\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}q^{n}}$

其中${\displaystyle b_{n}=-\sum _{d|n}{\frac {1}{d}}=}$ -[1/1, 3/2, 4/3, 7/4, 6/5, 12/6, 8/7, 15/8, 13/9, 18/10, ...]（參照OEIS A000203）

由於恆等式${\displaystyle \sigma (n)=\sum _{d|n}d=\sum _{d|n}{\frac {n}{d}}}$（其中${\displaystyle \sigma (n)}$為除數函數），上式可以寫成

${\displaystyle \ln(\phi (q))=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma (n)}{n}}\ q^{n}}$.

另外，若${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ^{+}}$且${\displaystyle ab=\pi ^{2}}$，則^[1]

${\displaystyle a^{1/4}e^{-a/12}\phi (e^{-2a})=b^{1/4}e^{-b/12}\phi (e^{-2b}).}$

特殊值

以下的恆等式是來自斯里尼瓦瑟·拉馬努金的筆記^[2]：

${\displaystyle \phi (e^{-\pi })={\frac {e^{\pi /24}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{7/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-2\pi })={\frac {e^{\pi /12}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-4\pi })={\frac {e^{\pi /6}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{{11}/8}\pi ^{3/4}}}}$

${\displaystyle \phi (e^{-8\pi })={\frac {e^{\pi /3}\Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)}{2^{29/16}\pi ^{3/4}}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}}$

利用五邊形數定理，將求和積分對調，再利用複數解析方式，可以得到^[3]：

${\displaystyle \int _{0}^{1}\phi (q)\,\mathrm {d} q={\frac {8{\sqrt {\frac {3}{23}}}\pi \sinh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{6}}\right)}{2\cosh \left({\frac {{\sqrt {23}}\pi }{3}}\right)-1}}.}$

參照

• 歐拉函數（也稱為歐拉商數）