狀態轉移方程（State-transition equation）[1]定義為以下線性齊次狀態方程的解。線性時不變狀態方程
其狀態向量為x、控制向量為u、附加擾動向量為w以及定值的系數矩陣A, B, E，此方程可以用求解線性微分方程的經典方式求解，或是用拉普拉斯變換求解。以下即用拉普拉斯變換求解。
上式的拉普拉斯變換為
其中x(0)是t = 0時的初始值向量。求解X(s)可得
![{\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)].}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6e01f8c53b3e996f3072a8d6c2340ad795204a)
因此，可以用拉普拉斯逆變換求得狀態轉移方程為
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}\mathbf {x} (0)+{\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)]{\Bigr \}}\\&=\mathbf {\Phi } (t)\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathbf {\Phi } (t-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]dt\end{aligned}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98456e2a2e7a88a08e993c89e6bcda03f5dd3e85)
其中Φ(t)是狀態轉移矩陣。
上述的狀態轉移方程只適用在初始時間定義在t = 0的情形。在控制系統研究裏，尤其是離散資料的控制系統，常會要將狀態轉移流程拆解為一連串的轉移，因此需要比較靈活的初始時間選擇。令初始間表示為t0，對應的初始狀態為x(t0)，假設輸入u(t)和擾動w(t)是在t ≥ 0時給定。
從上述方程開始，設定t = t0，求解x(0)，可得
![{\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {\Phi } (-t_{0})\mathbf {x} (t_{0})-\mathbf {\Phi } (-t_{0})\int _{0}^{t_{0}}\mathbf {\Phi } (t_{0}-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]d\tau .}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d375fa5656de1b34190807de9a639d1952415a4)
只要確定了狀態轉移方程，可以將輸出向量表示為初始狀態的函數。
![{\displaystyle \mathbf {X} (s)=(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}\mathbf {x} (0)+(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6e01f8c53b3e996f3072a8d6c2340ad795204a)
![{\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}{\Bigr \}}\mathbf {x} (0)+{\mathcal {L}}^{-1}{\Bigl \{}(s\mathbf {I} -\mathbf {A} )^{-1}[\mathbf {BU} (s)+\mathbf {EW} (s)]{\Bigr \}}\\&=\mathbf {\Phi } (t)\mathbf {x} (0)+\int _{0}^{t}\mathbf {\Phi } (t-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]dt\end{aligned}}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98456e2a2e7a88a08e993c89e6bcda03f5dd3e85)
![{\displaystyle \mathbf {x} (0)=\mathbf {\Phi } (-t_{0})\mathbf {x} (t_{0})-\mathbf {\Phi } (-t_{0})\int _{0}^{t_{0}}\mathbf {\Phi } (t_{0}-\tau )[\mathbf {Bu} (\tau )+\mathbf {Ew} (\tau )]d\tau .}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d375fa5656de1b34190807de9a639d1952415a4)